高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程二教案 北师大选修1-1

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1、第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程教学过程：一、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必

2、要性，从而导入本节课的主题）2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）二、讲解新课：1椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处

3、地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下一节学习离心率概念作铺垫)2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则，又设M与距离之和等于()（常数），，化简，得，由定义,令代入，得，两边同除得此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭

4、圆方程其中注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小)三、讲解范例：例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等

5、于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（,）解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为⑵因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，＋又所以所求标准方程为另法：∵∴可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出a与b长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程

6、四、课堂练习：1椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.5B.6C.4D.102.椭圆的焦点坐标是（）A.(±5，0)B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为（）A.2B.2C.2D.4.,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是5.方程表示椭圆，则的取值范围是（）Ａ.Ｂ.∈Ｚ）Ｃ.Ｄ.∈Ｚ）参考答案：1.A2.C3.A4.5.Ｂ五、小结：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:①椭圆的定义中,；②椭圆的标准方程中,

7、焦点的位置看,的分母大小来确定；③、、的几何意义六、板书设计（略）七、课后记：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x轴；(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.（答案：；）(2)已知三角形ΔABC的一边Ð长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程解：以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：