高中数学 2.1.1《椭圆的定义及其标准方程》教案 湘教版选修1-1

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1、椭圆的定义及其标准方程一、教材分析(一)教材所处的地位、内容和作用。本节内容是椭圆的定义及其标准方程，是在学习了曲线与方程、求曲线的方程以及曲线的交点之后展开的，它是继续学习椭圆的几何性质和双曲线、抛物线的定义和几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。（二）教学目标1、知识目标：A识记：①记住椭圆的定义；②区分椭圆的两种类型的标准方程及其对应的图形；③能根据a、b、c的值写出椭圆的标准方程。B理解：①理解椭圆的焦点、焦距的意义；②

2、会推导椭圆的标准方程；③能掌握a、b、c之间的关系，会由其中的两个求出第三个。C掌握：学会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题。2、能力目标：①培养学生建立适当坐标系的解析法解题能力。②巩固与发展学生的定义法解题、待定系数法解题和数形结合的解题能力。3、情感目标：培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。（三）教学重点、难点1、教学重点：①．椭圆的定义；②．椭圆标准方程的形式与图形、焦点坐标的对应关系；③根据条件求椭圆的标准方程。2、教学难点：①椭圆标准方程的推导；②应用标准方程的形式与图形、焦

3、点坐标对应关系解题。二、学生情况分析在学习椭圆之前，学生对曲线与方程有了一定的了解；基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线的方程。椭圆是常见的图形，学生对椭圆已有一定的感性认识，例如：行星的运动轨迹等等。三、教学过程（一）复习同学们，前一段时间我们重点学习了求曲线的轨迹方程的两种方法，提问：方法一是基本法，其求动点轨迹的一般步骤是什么？；方法二是待定系数法，其解题步骤又是什么？（说明：通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在联系，并为后面椭圆的标准方程的推导及用待定系数法求椭圆方程作好准备。）

4、（二）引入我们曾经运用方法一成功地推导出了圆的标准方程，今天我们又要运用这种方法继续研究一种特殊曲线的方程。现在先看一个实例问题（演示行星运行的轨道），请同学们注意观察地球绕太阳运转的轨迹形状象什么？（进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借助地理模型的直观性，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。）（三）新授：1、引导学生发现椭圆的定义：根据地球绕太阳运转的事例思考：提问：点满足什么条件运动时形成的轨迹是椭圆呢？让学生进行分组讨论。(平面内两个定点分别是F1和F2，且该两点之间的距离是2c，点M是平面内任意

5、一点，M到两点F1和F2的距离之和是2a，显然2a>2c)提问：满足上述条件的点M是否只有一个点呢？根据学生的回答画点，然后连线，看来并不是只有一个点满足条件，而是有无数个点都满足条件。如果继续旋转就可以得到满足条件的所有的点。让我们来看一看最终可以得到什么图形?(是一个椭圆)提问：有什么办法可以更好的画椭圆的图象呢？让学生在讨论后尝试动笔画一个椭圆。教师在黑板上根据定义画一个椭圆。2、师生共同归纳概括椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于

6、F1F2

7、）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的

8、焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）。3、椭圆的定义的再认识：提问：在椭圆的定义中为什么要满足2a>2c？去掉这个条件可不可以呢？先让学生思考，讨论。正面直接解决这个问题，显然比较难，这时我们常采用“正难则反”的思考策略。而其反面是：（1）当2a=2c时，到两定点距离等于定长的点的轨迹是什么？（2）当2a<2c时，到两定点距离等于定长的点的轨迹是什么？让学生自己画图归纳，然后自己给学生总结。由此可知：1、命题“到两定点距离等于定长的点的轨迹是一个椭圆”是错误的。正确的是应分三种情况：（1）当2a>2c时，到两

9、定点距离等于定长的点的轨迹是一个椭圆：（2）当2a=2c时，到两定点距离等于定长的点的轨迹是一条线段；（3）当2a<2c时，到两定点距离等于定长的点的轨迹不存在。这恰是同学们今后运用定义解题时应当注意的。2、不论M如何移动，三角形MF1F2的周长恒为定值，等于2a+2c.4、学生推导椭圆的标准方程的过程：提问：如何求轨迹的方程？（引导学生推导椭圆的标准方程）推导中注意：（1）、推导方程的方法--------求曲线方程的一般方法（用对称法建立坐标系）（2）、推导方程的难点--------方程的化简（要抓住“怎样消去方程

10、中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解）（3）推导方程的做法---------以学生分组探索为主、老师点拨为辅完成（4）如果焦点在轴上，则焦点为F1（0，）、F2（0,c），这时只要将方程中，互换就可得到它的方程。板书：椭圆的标准方程的推导过程。椭圆的标准方程：（）（）5、椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分