高三数学二轮复习 专题六第二讲 空间中的平行与垂直教案 理

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1、第二讲　空间中的平行与垂直研热点（聚焦突破）类型一空间线线、线面位置关系1．线面平行的判定定理：aα，bα，a∥ba∥α.2．线面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b.3．线面垂直的判定定理：mα，nα，m∩n＝P，l⊥m，l⊥nl⊥α.4．线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥αa∥b.[例1]　(2012年高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值．[解析]　(1)证明：因为四边形ABCD

2、是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)解法一　由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(1)所示的空间直角坐标系．不妨设CB＝1，则C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(，－，0)，F(0，0，1)．(1)因此＝(，－，0)，＝(0，－1，1

3、)．设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，所以x＝y＝z，取z＝1，则m＝(，1，1)．由于＝(0，0，1)是平面BDC的一个法向量，则cos〈m，〉＝＝＝，所以二面角FBDC的余弦值为.解法二　如图(2)，取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD.又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以FC⊥BD.由于FC∩CG＝C，FC，CG平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角FBDC的平面角．(2)在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝CB.又CB＝CF，所以C

4、F＝＝CG，故cos∠FGC＝，因此二面角FBDC的余弦值为.跟踪训练(2012年济南摸底)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1＝AC.(1)求证：CN∥平面AMB1；(2)求证：B1M⊥平面AMG.证明：(1)设线段AB1的中点为P，连接NP、MP，∵CMAA1，NPAA1，∴CMNP，∴四边形CNPM是平行四边形，∴CN∥MP，∵CN平面AMB1，MP平面AMB1，∴CN∥平面AMB1.(2)∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1B1B⊥平面ABC，∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1

5、B1B，∴B1M⊥AG.∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1，设AC＝2a，则CC1＝2a，在Rt△MCA中，AM＝＝a，在Rt△B1C1M中，B1M＝＝a.∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∴AB1＝＝＝2a，注意到AM2＋B1M2＝AB，∴B1M⊥AM，类型二空间面面位置关系1．面面垂直的判定定理：aβ，a⊥αα⊥β.2．面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥lα⊥β.3．面面平行的判定定理：aβ，bβ，a∩b＝A，a∥α，b∥αα∥β.4．面面平行的性质定理：α∥β，α

6、∩γ＝a，β∩γ＝bb.5．面面平行的证明还有其它方法(2)[例2]　(2012年高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[证明]　(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC

7、1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.跟踪训练(2012年大同模拟)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥，点M是棱BC的中点，DM＝3.(1)求证：平面ABC⊥平面MD

8、O；(2)求三棱锥M-ABD的体积．解析：(1)证明：由题意得OM