高三数学上 15.1《多面体概念、性质及其应用》学案 沪教版

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1、多面体概念、性质及其应用[复习重点]：系统梳理落实多面体的有关概念、性质以及运用概念性质分析处理以多面体为依托的立体几何基本问题的基本方法。　　[复习难点]：面积、体积计算中角度、方位的转换；“等体积法”、“割补法”的灵活运用；锥、台关系及截面问题的分析处理。　　[范例分析]：　　例1．过正方体的每三个顶点都可以确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成角都相等的不同平面有几个？　　分析：由正方体的概性，12条棱中可分为3组，每组的四条棱互相平行，要找出与12条棱成角都相等的平面，只需找出与共点的三条棱成角的平面即可。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：（法一）正方体

2、的每个顶点和所在面的面对角线对应一个正三棱锥，如A点对应正三棱锥A-A1BD。这个正三棱锥的底面A1BD是合条件平面，8个顶点对应8个平面，即满足题设要求的平面有8个。　　（法二）正方体8个顶点，每三点可以确定一个平面，共=56个，其中6个对角面中每三点所确定的平面与每个表面中每三个点所确定的平面均不符合条件，因此合条件的平面的个数是：　　-6·=8（个）　　[评注]：理解多面体的概念，是指不仅要知道这些概念，还应能灵活地运用这些概念所蕴含的性质正确推理，尤其是正方体，三棱锥的有关概性应更为关注。如本题关键的展开就在于运用正方体的性质把研究与12条棱或等角的问题简化为只研究与共点的

3、三条棱成等角的问题。　　例2．如图，三棱锥P-ABC中，PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,求这个三棱锥的体积。　　分析：由AB=AC，∠BAC=60°→ΔABC为正三角形，由∠PAB=∠PBC，点P在面ABC上的射影必在∠BAC的角平分线上。　　解（法一）（直接用公式）：　　作BC中点D，连结AD，PD；过P作PO⊥平面ABC于O，　　∵∠PAB=∠PAC，AB=AC，∴ΔPAB≌ΔPAC，AD⊥BC，　　∴PB=PC，∴PD⊥BC，∴BC⊥平面PAD，∴平面ABC⊥平面PAD，　　∴O点必在AD上，过O作OE⊥AB于E，连结PE，则PE⊥AB，　　

4、在RtΔPAE中，∠PAE=60°，PA=a，　　∴PE=a,AE=,OE=AE·tan30°,　　在RtΔPOE中，PO==a,又易知SΔABC=a2,　　∴VP-ABC=·SΔABC·PO=a3。　　解（法二）（利用等积转换法）：　　在ΔPAB中，PA=a,AB=2a,∠PAB=60°,　　∴PB2=a2+(2a)2-2·a·(2a)·cos60°=3a2,　　∴ΔPAB是直角三角形，PA⊥PB，同理可证PA⊥PC，又PB∩PC=P，　　∴PA⊥平面PBC，　　在ΔPBC中，PB=PC=a,BC=2a,∴SΔPBC=a2,　　∴VP-ABC=VA-PBC=·SΔPBC·PA=a

5、3。　　解（法三）（用分割求积法解）：　　由法一，BC⊥平面PAD，　　∴VP-ABC=VB-PAD+VC-PAD=2·VB-PAD=·SΔPAD·BD=a3。　　解（法四）（用补形法求解）：　　延长AP到Q，使PQ=a,连结QB，QC，可得到一个棱长为2a的正四面体，　　∴VP-ABC=VQ-ABC=·(2a)3=a3。　　[评注]：10　形如这样的图形，（三线共点两两成等角），其分析处理应熟练，因正棱锥，正棱台的局部就是这样的图形，此题法1中还可如右图示处理，证明AO平分∠BAC，它正是正棱锥性质中所说的四个RtΔ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20　割补法、与三

6、棱锥视角的转换是体积计算中的基本方法，要注意掌握运用。　　例3．已知正三棱台上、下底面面积分别为S1和S(S1

7、1C12)　　∵S1=B1C12,S=BC2,∴BC2-B1C12=(S-S1)　　∴S侧=·(S-S1)=。　　解（法二）（用还台为锥法求解）：　　分别延长AA1，BB1，CC1相交于P，把正三棱台还原为正三棱锥，　　连结OA，OB，OC，O1A1，O1B1，O1C1，　　由射影面积公式，有SΔPAB=，SΔPBC=，SΔPAC=，　　将上面三式相加，得SP-ABC侧=　　同理可得：，　　∴S正三棱台侧=SP-ABC侧-=。　　[评注]：10　对一些常见多面体的性质