高一数学空间角专题 二面角学案 人教版a 必修2

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1、高一数学空间角专题二面角学案一、基本知识①二面角定义：从一条直线出发的两个所成的角叫做，这条直线叫做二面角的，这两个半平面叫做。②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．并且用二面角的平面角大小来表示二面角的大小．因此，若设平面与平面所成的角为，那么的范围是。二、经典范例（一）定义法【典型例题1】若正四棱锥的底面边长为，体积为，求它的侧面与底面所成的二面角的大小。【变形应用1】若正三棱锥底面边长为4，体积为1，求侧面和底面所成二面角的正切值。EDCBAD1C1B1A1【变形应用2】如图，正方体ABCD—A1B1C1D

2、1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的余弦值。（二）垂面法【典型例题2】在二面角α—L—β内部有一点P，PA⊥平面α垂足为A，PB⊥平面β垂足为B，且PA=1，PB=3，AB=，求二面角α—L—β的大小。【变形应用1】已知二面角α—L—β的大小为120°，点P为其内部一点，PA⊥平面α垂足为A，PB⊥平面β垂足为B，且PA=4，PB=6，（1）求线段AB的长度。（2）求点P到棱L的距离。【变形应用2】在120°的二面角M—l—N中，AM，BN，已知点A和B到棱l的距离分别为2和

3、4，且AB=10，求：⑴直线AB与棱l所成的角；⑵直线AB与平面N所成的角。【变形应用3】在600的二面角α—L—β的棱L上取两点A、B，在两个半平面α、β内分别作垂直于棱的线段AC、BD，已知AB=AC=BD=a，那么CD的长为（）AaB2aC3aD（三）三垂线定理法【典型例题3】三棱锥V—ABC中，VA=，VC=1，AB=BC=，且VA⊥VC，点V在平面ABC内的射影H恰好落在AC上，求二面角V—AB—C的正切值。【变形应用1】如图，已知，斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．C1CBAB1A1⑴求

4、侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；⑵求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。ABCP【变形应用2】如图：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PB、PC与平面ABC所成的角分别是300和450，求二面角A—PB—C的余弦值。（四）射影面积法【典型例题4】已知平面，三角形ABC的边，，点A在平面上的射影为，为斜面ABC与射影所成二面角的平面角，求证：(其中S为斜面三角形ABC的面积，S1为射影三角形面积)。EDCBAD1C1B1A1M【变形应用1】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M是棱BB1的中点，平面A1C1M与平面ABCD所成的二面角的余弦值为【变形应用2】在正三棱ABC—A

5、1B1C1中，求平面A1BC1与平面ABC所成二面角的余弦值。三、小结：作二面角的平面角的方法⑴定义法：在二面角的棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．⑵三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角，就是二面角的平面角．⑶垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．⑷公式法：(其中S为斜面面积，S1为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角)．这个公式对于斜面为三角形、任意多边形都成立。