高二数学排列、组合和二项式定理小结复习 人教版

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1、高二数学排列、组合和二项式定理小结复习一.本周教学内容：排列、组合和二项式定理小结复习二.重点、难点：重点：1.排列、组合和二项式定理知识结构2.分类计数原理、分步计数原理意义及它们区别和联系；排列和组合意义以及它们区别和联系；3.二项式定理内容及应用；二项式展开式的通项公式的应用。4.解排列和组合问题的基本方法难点：1.两个原理所体现的解决问题的方法。2.分类计数原理、分步计数原理区别和联系及排列和组合区别和联系是贯穿本章内容的难点。3.克服在解决排列和组合问题上的重复和遗漏情况是这部分内容的又一难点。三.复习与小结1.知识结构 知识体系表解2.解题常用的几种思考方法(

2、1)直接法：根据加法原理及乘法原理，直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题，这种解题方法为直接法。(2)间接法：不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类情况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种方法属数学中常用的间接法。当符合题意限定条件中的种类不易求，或情况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。(3)插空法：若题目限制某些元素必“不相邻”，可将无此限制的元素进行排列，然后在它们的空格处，插入不能相邻元素，此方法叫插空法。(4)捆绑法：关于某些元素必

3、“相邻”的问题，可把这些元素看作一个整体，当成一个元素和其它元素进行排列，然后这些元素自身再进行排列，这种方法叫做捆绑法。3.分组问题分组问题显然属于组合问题。分组问题中情况多种多样，大体上有不均分到人，不均分不到人，均分到人，均分不到人等几种。4.二项式定理二项式系数的性质(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。(3)二项式系数的和为2n，即(4)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和，即二项展开式系数的规律——杨辉三角二

4、项展开式的系数可以由下表求出：其中这边上的各数都是1，除1以外，每个数都等于它“肩上”两数之和。当n较小时，用它写出(a+b)n展开式更为方便。以上结果是由我国宋代数学家杨辉首先发现的(1261年)，所以称为杨辉三角。关于通项公式题时通项公式应用较多，但必须注意，它是(a+b)n展开式的第r+1项，而(1+α)n的近似计算在(1+α)n的展开式中，当α的绝对值与1相比很小且n不很大时，α2项、α3项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，这样就有近似计算公式：(1+α)n≈1+nα．在使用这个公式时，要注意问题对精确度的要求。【典型例题】例1 在1，3，5，

5、7，9中任取3个数字，0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位数偶数。解法一 因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。解 第一类：五位数中不含数字零。第二类：五位数中含有数字零．第二步：排顺序又可分为两小类：∴符合条件的偶数个数为答：可组成4560个位偶数．解法二：间接解法分析 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从0，2，4，6，答：符合条件中的五位偶数有4560个．例2.某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必

6、须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题。(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法。

7、(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法。(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法。(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法。(6)符