高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角 人教版

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1、高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角人教版一.本周教学内容:两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角[知识点](证明过程:略)6.两条直线的交点【典型例题】例1.分析:法一:求出直线的斜率,再用直线的点斜式方程求解。法二:设所求直线的方程为2x+3y+b=0,求出b即可。解:法一:法二:设所求直线的方程为2x+3y+b=0,直线过点A(1,-4)故所求直线的方程是2x+3y+10=0。例2.讨论下列各对直线是否平行或垂直:分析:解:(2)当B=0时,则A≠0,当A=0时,则B≠0此时,l1、l2中必有一条垂直于x轴,另一条垂直于y轴所以l1

2、⊥l2所以总有l1⊥l2小结:本题的结论很重要,应熟记。在利用位置关系求直线方程时,有时用本题的结论设所求直线的方程来求解。一般地可证明下列结论:例3.求过点P(x0,y0)且和直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程。解:∵所求直线与直线Ax+By+C=0垂直当B=0时,直线Ax+By+C=0的方程为Ax+C=0,过点P与它垂直的方程为y=y0,适合上面所求方程Bx-Ay+Ay0-Bx0=0。同理,当A=0时,过点P与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为x=x0,也适合上面所求方程。小结:由所求直线方程和已知直线方程比较知:一个方程中含x项的系数与另一个方程中含y项的系数绝对值

3、相同,而联结符号相反。一般地,与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+C1=0。例4.值。解法一:解法二:小结:条直线中一条的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,两直线也垂直。本例利用A1A2+B1B2=0求a的值更为快捷。例5.分析:用l1到l2的公式证明。证明:小结:本题的结论很重要,它是直线l1到l2的角的另一个重要公式。例6.等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上(如图所示),求这条腰所在直线l3的方程。分析:解:例7.(1992年全国高考题)答案:A分析:因点(x,y)关于y

4、=x的对称点是(y,x),故将l1方程中x,y位置调换即得l2的方程。解:法一:用反函数的有关知识可得,交换x,y的位置即可得l2的方程为bx+ay+c=0,选A。法二:小结:本题考查直线方程的有关知识和反函数的概念、图象和性质。例8.直线平行。解:将直线l1的方程化成斜截式∵l1∥l2行。小结:在直线的方程中,如果y的系数含有字母,那么求直线的斜率时,常对y的系数进行讨论。例9.已知两定点A(2,5),B(-2,1),M和N是过原点的直线l上两个动点,坐标。解:∵M,N在l上,∴可设M(a,a),N(b,b)例10.已知等腰直角三角形ABC中,C=90°,直角边BC在直线2x+

5、3y-6=0上,顶点A的坐标是(5,4),求边AB和AC所在的直线方程。解:∵直线AC与直线BC垂直∵∠ABC=45°小结:此题利用等腰直角三角形的性质,得出∠ABC=45°,再利用夹角公式,求得直线AB的斜率,进而求得了直线AB的方程。∵AC⊥BC,∴求直线AC的斜率不能用夹角公式。例11.已知△ABC的一条内角平分线CD的方程是3x-y-6=0,A、B的坐标分别为(0,-3)、(5,-1),求C的坐标。解:∵点C在直线3x-y-6=0上∴设点C的坐标为(t,3t-6)小结:本例的解题过程主要是利用到角公式列出了t的方程求得了C的坐标。例12.求经过点(2,3)且经过以下两条直

6、线的交点的直线的方程:解法一:解法二:∵点(2,3)在直线上小结:求两直线的交点就是解方程组。如果方程组有一解,说明两直线相交;有无数解,两直线重合;无解,两直线平行。线都过x+3y-4=0和5x+2y+6=0的交点。例13.证法一:两直线的交点为P(9,-4)将点P的坐标代入原方程左端,得:此直线通过定点P(9,-4)。证法二:此式对于m为任意实数都成立∴m为任意实数时,所给直线均过定点P(9,-4)小结:上述两种证法各有特色,思路不同结论相同。【模拟试题】1.当A和C取何值时,直线和直线互相平行?2.平行于直线的直线与坐标轴围成的三角形面积为5,求直线的方程。3.已知,过且平

7、行于AB的直线将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比。4.求经过点且与点距离相等的直线方程。5.三条直线能围成三角形吗?取值范围,若不能,说明理由。若能,求出实数m的值。6.在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为,∠A的平分线所在直线的方程为。若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标。7.已知△ABC中三顶点,直线∥BC,分别交AB,AC于M,N。若直线将△ABC分成三角形和四边形两部分面积的比为4:5。(1)求直线的方程;(2)在边BC上求点P,使△PMN为直角三角形

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