高二数学多面体欧拉公式的发现练习

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1、研究性课题：多面体欧拉公式的发现练习【同步达纲练习】一、选择题1.P＝｛正多面体｝，Q＝｛凸多面体｝，R＝｛多面体｝，S＝｛简单多面体｝，P、Q、R、S之间关系()A.PQRSB.RQSPC.PQSRD.RSQP2.每个顶点都有3条棱的正多面体共有()A.2种B.3种C.4种D.5种3.连结正十二面体各面的中心，得到一个()A.正六面体B.正八面体C.正十二面体D.正二十面体4.正十二面体和正二十面体的棱数分别是()A.29、30B.30、30C.30、31D.32、355.已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F-V＝()A.2B.4C.8

2、D.126.过正四面体一边及对边中点的截面截锥体分成两部分和体积的比为()A.1∶2B.1∶1C.1∶4D.2∶37.正方体的八个顶点中有四个恰是正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比是()A.B.C.D.8.一个多面体共有10个顶点，每个顶点处都有四条棱，面的形状只有三角形和四边形，则多面体有三角形和四边形的面分别为()A.8个、4个B.4个、8个C.5个、6个D.6个、5个9.一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点，各有6条棱，其他的顶点都有相同数目的棱，则其他各有()条棱.A.4B.5C.6D.710.如果四面体的每一个面都不是

3、等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少的为()A.3B.4C.5D.6二、填空题1.正八面体的棱长为a，则它的对角线长为.2.正多面体共有种，它是.3.叫简单多面体.4.一个简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点V与面F之间有关系.三、填空题1.试求所有各个面都是三角形的正多面体共有多少种?2.某一凸多面体有32个面，每个面都是三角形或五边形，对于V个顶点的每一个都有T个三角形和P个五边形相交，求100P+10T+V的值.【素质优化训练】1.求棱长为2的正四面体的体积.2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜

4、色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少?【知识验证实验】已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，AC＝BD＝，AD＝BC＝5.求它的体积和异面直线AD和BC的距离.解通过补形使ABCD成为长方体EAMD—BFCH的内接四面体.设BF＝x,CF＝y,AF＝z.从而；x2+y2＝25,y2+z2＝34,x2+z2＝41.则x＝4,y＝3,z＝5.长方体体积V＝xyz＝60.而VA—BCD＝V-VA—BCF-VA—BED-VA—DMC-VDBHC＝V-4VA—BCF＝20.∵AD面AD，BC面BC，面AD∥面BC.∴AD、BC的距离就等于面AD与面BC的距

5、离AF＝z＝5.参考答案：【同步达纲练习】一、1.D2.B3.D4.B5.B6.B7.B8.A9.A10.A二、1.a2.5种.正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3.表面能经过连续变形变为球面的多面体4.V-F＝2三、1.面数F，棱数E，V个顶点，则E＝F，过每一个顶点都有P条棱.则V·P＝2E，又V+F-E＝2.∴E＝＝-6+.而E＞0.∴P≥3.得P＝5，4，3F＝E＝-4+∴F＝20，8，4故可能为正四面体，正八面体，正十二面体三种.2.E条棱，V个顶点，F个面，则F＝32.∵T个三角形和P个五边形交于每一个顶点.∴每个顶点出

6、发，T+P条棱.得2E＝V(T+P)，又V+F-E＝2，∴E＝V+30则V(T+P-2)＝60.又每个三角形面有三条边，∴三角形面为个.同理五边形面共有个，得+＝32.消去V，解得3T+5P＝16.又T、P＞0，则T＝2，P＝2，从而V＝30，所求100P+10T+V＝250.【素质优化训练】1.22.显然S、A、B所染颜色不同，共有5×4×3＝60种染色方法.当S、A、B已染好，C、D还有7种染法，从而染色方法总数为60×7＝420.