多面体欧拉公式的发现(1).doc

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1、【课题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（1）【教学目标】1、能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2、能通过进一步观察验证所得的规律.3、能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4、能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.【教学重点】欧拉公式的发现.【教学难点】从中体会和学习数学大师研究数学的方法.【教学过程】一、复习引入欧拉是瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自

2、然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等。其中欧拉公式的一个特殊公式eiπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，这就是我们今天要学习的欧拉定理。二、讲解新课（一）简单多面体1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变

3、形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。（二）五种正多面体的顶点数、面数及棱数：正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：．上述关系式对简单多面体都成立欧拉定理：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：证明1：以四面体为例来说明：将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变。因此，要研究、和的关系，只

4、要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。例如去掉，就减少一个面。同理，去掉棱、，也就各减少一个面、。所以、的值都不变，因此的值也不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点。例如去掉，就减少一个顶点．同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下（如图）。在此过程中的值不变，但这时面数是，所以的值也不变由于最后只剩下，所以，最后加上去掉的一个面，就得到．证明2：⑴如图⑽：将多面体的底面ABCDE剪掉，伸展成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中A

5、BCDE表示）均没有变，故所有面的内角总和不变。⑵设左图中共有F个面，分别是边形，顶点数为V，棱数为E,则.左图中，所有面的内角总和为＝＝⑶右图中，所有面的内角总和为　　＝　　⑷＝整理得.欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数说明：（1）简单多面体的欧拉示性数．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体．一、例题讲解【例1】一个面体共有8条棱，5个顶点，求。解：∵，∴，∴．【例2】一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求。解：∵，，∴，∴．二、课堂练习

6、1.用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.解：在三棱柱中：V=6，F=5，E=9∵6+5－9=2，∴V+F－E=2在四棱锥中：V=5，F=5，E=8∵5+5－8=2，∴V+F－E=22.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有F=2V－4的关系.解：∵V+F－E=2又∵E=，∴V+F－=0，∴F=2V－4【备注】欧拉（EulerLonhard，1707～1783）　　欧拉，瑞士数学家及自然科学家在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝欧拉出生于牧师家庭，自

7、幼已受到父亲的教育13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金。　　1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利，成为物理学教授。在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现此外，欧

8、拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题1735年，他因工作过度以致右眼失明在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其它数学领域均有开创性的发现。　　1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡在1771年，一场重