高二数学分类计数原理与分步计数原理、排列知识精讲 人教版

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1、高二数学分类计数原理与分步计数原理、排列知识精讲人教版一.本周教学内容：分类计数原理与分步计数原理、排列二.本周教学重、难点：1.分类计数原理，分步计数原理2.[例1]有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码，一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码，第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码。（1）从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？解：（1）任取一个小球的方法可分三类，一类取红球，有20种取法；一类取白球，有15种取法；一类取黄球，有8种取

2、法。由分类计数原理共有20+15+8=43种不同取法。（2）取三色小球各一个，可分三步完成，先取红球。有20种取法；再取白球，有15种取法；最后取黄球，有8种取法。由分步计数原理，共有种不同的取法。[例2]在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？解：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1，2，3，……，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，……，7中的一个，故有7个；与上同样。个位是7的有6个；个位是6的有5个；……个位是2的只有1个。由分类计数原理知，满足条件的两位数有（个）[例3]如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它

3、们有网线相联，连线标注的数字，表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为多少？解：沿12—5—3路线传递的信息最大量为3（单位时间内），沿12—6—4路线传递信息的最大量为4……由于以上每个线路均能独立完成这件事（传递信息），故单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19。[例4]用6种不同的颜色对下图中5个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解：分五步进行，第一步给5号域涂色有6种方法第二步给4号涂有5种方法第三步给1号涂有5种方法第四步给

4、2号涂有4种方法第五步给3号涂有4种方法根据分步计数原理，共有种不同涂法[例5]求下列各式中的值（1）；（2）；（3）。解：（1）由排列数公式，得整理得∴∴或（舍去）∴（2）由排列数公式，得整理得解得或（舍去）∴（3）由排列数公式，得化简得或∵∴[例6]证明下列等式：（1）；（2）；（3）证明：（1）∵∴（2）（3）∵∴[例7]由0，1，2，3，4，5共六个数字可组成多少个没有重复数字且能被5整除的六位数？解：组成的六位数与顺序有关，但首位不能排0，个位必须排0或5，因此分两类：第一类：个位必须排0，此时前五位数由1，2，3，4，5共五个数字组成，这五个数字的每一个排列对应一个六

5、位数，故此时有个六位数。第二类：个位数排5，此时为完成这件事（构造出六位数）还应分两步，第一步排首位，有4种排法，第二步排中间四位，有种排法，故第二类共有种排法，以上两类排法都符合题目要求，所以共可组成个。[例8]用0，1，2，3，4五个数字组成的无重复数字的五位数中，其依次从小到大的排列。（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？解：（1）1、2是首数时各组成个不同的五位数，故第49个数是30124。（2）1在万位时有个；2在万位，0、1在千位的共有个；2在万位，3在千位，0在百位的有个，还有23104比23140小，故23140是第（个）数。[例9]四名男生和三名女

6、生按要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站在两端；（2）甲、乙二人不能站在两端；（3）甲、乙二人之间间隔两个人；（4）四名男生站在一起，三名女生站在一起；（5）男女互相间隔开；（6）三名女生排列顺序一定。解：（1）方法一：因为甲不在两端，分两步排队，首先从甲以外的6个人中任选两人站在左、右两端，有种方法，然后让剩下的5个人（其中包括甲）站在中间的5个位置，有种方法，因此共有种站法。方法二：因为甲不在两端，分两步排队，首先排甲，有种方法，第二步让其他6人站在其他6个位置上，有种方法，故有种站法。方法三：第一步先让甲以外的人站队，有种方法，第二步让甲插入这6个人之间的空当

7、中，有种，故共有种站法。方法四：在排队时，对7个人，不考虑甲的站法要求任意排列，有种方法，但其中包括甲在左端或右端的情况种方法，因此共有种站法。（2）方法一：甲、乙两人为特殊元素，先考虑甲、乙的站法，除两端的其余5个不同位置都可排甲、乙，有种排法，再考虑其余5个元素的排法有种，根据分步计数原理，甲、乙二人不能站在两端的排法有种。方法二：甲、乙两人不能站在两端，应包括同时不在两端，某一人在两端，故用排异法，应减去两种情况，同时在两端，有种，某一人在两端，有种，故有种不同站法。（3）