高二数学专题二 平面向量与解析几何的综合 人教版

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1、高二数学专题二平面向量与解析几何的综合一.本周教学内容：专题（二）平面向量与解析几何的综合二.本周教学重、难点：1.重点：平面向量的基本知识，圆锥曲线的基本知识。2.难点：平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，向量作为解决问题的一种工具的应用意识。[例1]如图，已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率.解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则轴，因为双曲线经过点C、D且以AB为焦点，由对称性知C、D关于轴对称设A（）C（）B

2、（），，为梯形的高∴设双曲线为则由C、E在双曲线上由（1）：（3）将（3）代入（2）：∴∴[例2]如图，已知梯形ABCD中，，点E满足，双曲线过C、D、E三点且以A、B为焦点，当时，求离心率的取值范围。解：以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性，知C、D关于轴对称。依题意，记A（）、C（）、E（），其中为双曲线的半焦距，是梯形的高。由，即得设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线的方程，得由（1）式，得

3、（3）将（3）式代入（2）式，整理，得故，依题设，得解得所以，双曲线的离心率的取值范围为[例3]在以O为原点的直角坐标系中，点A（）为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零，（1）求的坐标；（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程。（3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由，若存在，求的取值范围。解：（1）设，则由，即，得或因为所以，得，故（2）由，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：得圆心（），半径为设圆心（）关于直线OB的对称点为（）则得，故所求圆的方程为

4、（3）设P（），Q（）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则得即、为方程的两个相异实根，于是由，得故当时，抛物线上总有关于直线OB对称的两点。（3）方法二：设P（）Q（），PQ的中点M（）∴（1）（2）（1）－（2）：∴代入得∴直线PQ的方程为∴∴∴[例4]已知常数，，经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（）以方向向量的直线相交于点P，其中，试问：是否存在两个定点E、F使为定值，若存在，求出E、F的坐标，不存在，说明理由。（2003天津）解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点

5、P到两定点距离的和为定值。∵∴因此，直线OP和AB的方程分别为和消去参数，得点P（）的坐标满足方程，整理，得①因为，所以得（1）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（2）当时，方程①表示椭圆，焦点E和F为合乎题意的两个定点；（3）当时，方程①也表示椭圆，焦点E和F（）为合乎题意的两个定点。[例5]给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点，（1）设的斜率为1，求与夹角的大小，（2）设若求在轴上截距的变化范围解：（1）C的焦点F（1，0），直线的斜率为1，所以的方程为，将代入方程，并

6、整理，得，设A（）、B（）则有所以与夹角的大小为（2）设A（）B（）由题设，得即，由（2）得∵，∴（3）联立（1）、（3）解得依题意有∴B（）或B（）又F（1，0），得直线方程为或当时，在轴上的截距为或由，可知在[4，9]上是递减的∴，直线在轴上截距的变化范围为[例6]抛物线C的方程为过抛物线C上一点P（）（）作斜率为的两条直线分别交抛物线C于A（）B（）两点（P、A、B三点互不相同）且满足（且）（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程（2）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在轴上（3）当时，若点P的坐标为（）

7、，求为钝角时点A的纵坐标的取值范围解：（1）由抛物线C的方程得，焦点坐标为（），准线方程为（2）证明：设直线PA的方程为，直线PB的方程为点P（）和点A（）的坐标是方程组的解将（2）式代入（1）式得于是，故（3）又点P（）和点B（）的坐标是方程组的解将（5）式代入（4）式得，于是，故由已知得，，则（6）设点M的坐标为（），由。则将（3）式和（6）式代入上式得即，所以，线段PM的中点在轴上。（3）解：因为点P（）在抛物线上，所以，抛物线方程为由（3）式知，代入得将代入（6）式得，代入得因此，直线PA、PB分别与抛物线C

8、的交点A、B的坐标为于是，，因为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有即，求得的取值范围为或又点A的纵坐标满足，故当时，；当时，所以，为钝角时点A的纵坐标的取值范围为[例7]已知椭圆和点M（）、N（），直线过点M且与椭圆相交于A、B两点。试问：可以为钝角吗？如果你认为可以，请求出当为钝角时，直线的斜率的取值范围；如要你认为不能，请加以证明。解：不