辅助角公式在高考三角题中的应用 专题辅导 不分版本

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1、辅助角公式在高考三角题中的应用柳毓对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx。由于上式中的与的平方和为1，故可记=cosθ，=sinθ，则由此我们得到结论：asinx+bcosx=，（*）其中θ由来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin()+k的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一.求周期例1（2006年上海卷选）求函数的最小正周期。解：所以函数y的最小正周期T=π。评注：将三角式化为y=Asin()+k的形式，是求周期的主要途径。二.求最值例2.（2003年

2、北京市）已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若，求f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。由。当，即x=0时，最小值；当时取最大值1。从而f(x)在上的最大值是1，最小值是。三.求单调区间例3.（2005年江西省）已知向量，，令，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。解：先由。反之再由。所以f(x)在上单调递增，在上单调递减。评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+)+k的形式

3、，是求单调区间的通法。四.求值域例4.求函数的值域。解：所以函数f(x)的值域是[-4，4]。五.画图象例5.（2003年新课程）已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数y=f(x)在区间上的图象。解：由条件。列表如下02112描点连线，图象略。六.图象对称问题例6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=()（A）（B）（C）1（D）-1解：可化为知时，y取得最值，即七.图象变换例7（2000年全国）已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：（1）向左平移，得到

4、y=sin(x+)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得y=的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得y=sin(2x+)的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移个单位长度，得到y=sin(2x+)+的图象。综上，依次经过四步变换，可得y=的图象。八.求值例8.已知函数f(x)=+sinxcosx。设α∈（0，π），f()=，求sinα的值。解：f(x)==sin。由f()=sin()，得sin()=。又α∈（0，π）。而sin，故α+，则cos(α+)=。sinα=sin[]=sin==。评注：化为一种角的一次

5、式形式，可使三角式明晰规范。在求sinα时，巧用凑角法：α=（α+）-，并且判断出α+的范围，进而求出cos(α+)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。九.求系数例9.（2005年重庆）若函数f(x)=的最大值为2，试确定常数a的值。解：f(x)===，其中角由sin=来确定。由已知有，解得a=。十.解三角不等式例10.（2005年全国Ⅲ）已知函数f(x)=sin2x+sin2x，x，求使f(x)为正值的x的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+。由f(x)＞0，有sin2x-则得2kπ-，故kπ＜x＜kπ+。再由x[0,2π]，可取k=0，1，得所求集

6、合是。