求振动周期四法 学法指导 不分版本

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1、求振动周期四法杨榕楠（浙江省宁波市效实中学315012）1.公式法如果物体做简谐运动，则它所受的回复力F与相对于平衡位置的位移x满足关系。可以证明，这个动力学微分方程的解为，其中ω是振动物体的圆频率，它由系统本身的性质决定，，所以简谐运动的周期。利用上式求振动周期，可以进行如下操作：使物体偏离平衡位置一个微小的位移x，求出此时回复力F的表达式，若满足，则把相应的k值代入公式，即可求得物体做简谐运动的周期。这是求振动周期最常用的方法。例1设想有一单摆，其摆长与地球半径R相等，试求此单摆在地球表面附近振动时的周期T。已知地球半径为R=6370km。分析此单摆的摆长很长，即使摆角很小

2、，摆动过程中摆球相对于地面的位移也很大。这时摆球受地球引力的方向变化不可忽略。如图1所示，设单摆的偏角为θ时，它离开平衡位置的位移为x，偏离地心O的角度为α，所受地球引力为F'，则此时摆球所受回复力为①图1由图可知由于θ、α均很小，有，代入①可得可见物体做简谐运动，由周期公式得当时，单摆周期。2.能量法物体做简谐运动时，任意时刻的动能势能机械能为若能求得物体振动中的势能或机械能，且具有形式为的表达式，则物体做简谐运动，周期为。例2位于竖直平面内的“V”形管粗细均匀、两端开口，两臂分别与水平面成α角和β角，如图2所示。其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管做振动，求

3、振动周期。设管壁无阻力。图2分析设平衡时重力势能为零，当液柱沿管轴的位移为x时，相当于长为x的液柱从左臂搬至右臂，此过程中该段液柱的重心升高了其中系统势能为由上式可知，液柱做简谐运动，振动周期为3.等效法单摆做小幅振动时可视为简谐运动，周期。若单摆在非惯性系或复合场中振动，可以通过求等效重力加速度来求周期。对于形式复杂的摆动实体，可以采用等效法：使它与某一理想单摆等效，假设两者具有相同的角速度，分别列出从最大偏角处到平衡位置的能量守恒式，求出等效摆长，即可得周期。例3长度为的轻杆和固定在杆自由端的小铅球组成一个单摆，小铅球的质量为m。现在杆上再套一颗同质量的珍珠，它可以沿着过轻

4、杆中点的水平线自由地滑动，如图3所示。求这个异型摆微小振动时的周期，忽略空气阻力和一切摩擦。图3分析先将摆拉至与竖直方向成θ角的位置，放手后摆到平衡位置时的角速度为ω，由机械能守恒定律，有①设想有一单摆与之等效，振动时具有相同的角速度ω，摆球质量为，摆长为，也从最大偏角为θ的位置释放，同理有②由①②式得等效摆长，所以此摆的振动周期4.比较法对于扭摆或做大摆幅振动的单摆，周期公式不适用。但是如果它与另一个已知振动周期的系统在每个对应位置都有速度或角速度上的特定关系，则摆的周期亦可通过比较求得。例4如图4所示，细轴环用绞链固定于A点，开始使它的质心位于A点的正上方，轴环受微扰后自由

5、落下，经t=0.5s后，轴环的质心处于最低位置。有一摆是小重球B固定在轻杆上，杆的长度等于轴环的半径，小球从最高位置由静止开始摆下，求此摆的振动周期。图4分析单摆从最高位置摆下，摆角远远超过了能当作简谐运动的最大偏角，用常规的方法很难求得它的运动周期。本题给出细轴环的运动信息，可对两个振动系统作一比较，建立两者振动周期的关系。任意时刻轴环的动能是轴环质心运动的动能与轴环绕质心转动的动能之和，因为环上A点的速度总为零，所以质心速度等于轴环相对于质心转动的线速度。设质心速度为v，轴环质量为m，则环的总动能为，根据机械能守恒定律，有h是环质心在任意时刻位于A点上方的高度，所以环质心的

6、速度为当摆球B位于转轴A上方同一高度h时，它的速度为由此可见，对于任一对应的位置，以上两个速度总有这样的关系所以，单摆到达最低点的时间此摆的振动周期