暑假专题 向量的综合应用 苏教版

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1、暑假专题向量的综合应用一.本周教学内容：暑假专题——向量的综合应用二.本周教学目标：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。（2）掌握向量的加法和减法。（3）掌握实数与向量的积理解两个向量共线的条件。（4）了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。（5）掌握平面向量的数量积，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。三.本周知识要点：1.向量的运算。向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积（内积）及其各运算的坐标表示和性质：运算类型几何

2、方法坐标方法运算性质向量的加法（1）平行四边形法则（2）三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量，满足：>0时，与同向；<0时，与异向；=0时，=∥向量的数量积是一个数或时，=0且时，，2.重要定理、公式：（1）平面向量基本定理：是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使（2）两个向量平行的条件：∥＝λ。（3）两个向量垂直的条件：⊥·＝O。3.向量的夹角：已知两个非零向量与，作=，=，则∠AOB=（）叫做向量与的夹角。cos==【典型例题】例1.已知、是两个非零向量，当+t（t

3、∈R）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证：⊥（+t）。分析：利用

4、+t

5、2=（+t）2进行转换，可讨论有关

6、+t

7、的最小值问题，若能计算得·（+t）=0，则证得了⊥（+t）。（1）解：设与的夹角为θ，则

8、+t

9、2=（+t）2=

10、

11、2+t2

12、

13、2+2·（t）=2+t22+2t

14、

15、

16、cosθ=

17、

18、2（t+cosθ）2+

19、

20、2sin2θ，所以当t=－cosθ=－=－时，

21、+t

22、有最小值（2）证明：因为·（+t）=·（－·）=·－·=0，所以⊥（⊥t）。点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运

23、算为处理这类问题带来了很大的方便。对

24、+t

25、的变形，有两种基本的思考方法：一是通过

26、+t

27、2=（+t）2进行向量的数量积运算；二是设、的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形。大家可尝试用后一方法解答本题。例2.已知平面向量若存在不同时为零的实数k和t，使试求函数关系式k=f（t）解：（1）例3.三角形ABC中，A（5，－1）、B（－1，7）、C（1，2），求　（1）BC边上的中线AM的长；（2）cosABC的值。解：（1）点M的坐标为xM=（2）∠ABC是与的夹角，而=（6，8），=（2，－5）例4.在四边形ABCD中，

28、·＝·＝·＝·，试证明四边形ABCD是矩形。分析：要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考。证明：设＝，＝，＝，＝，则∵＋＋＋＝∴＋＝－（＋）两边平方得｜｜2＋2·＋｜｜2＝｜｜2＋2·＋｜｜2又·＝·∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2（1）同理｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2（2）由（1）（2）得｜｜2＝｜｜2，｜｜2＝｜｜2，∴AB//CD，BC//DA∴四边形ABCD是平行四边形于是＝－，即＝－又·＝·，故·＝

29、·（－）∴·＝O∴⊥∴四边形ABCD为矩形评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会。【模拟试题】1.设A、B、C、D四点坐标依次是（－1，0），（0，2），（4，3），（3，1），则四边形ABCD为（）A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.已知△ABC中，=，=，·<0，S△ABC=，

30、

31、=3，

32、

33、=5，则与的夹角是（）A.30°B.－150°C.150°D.30°或150°3.已知点O为三角

34、形ABC所在平面内一点，若，则点O是三角形ABC的（）A.重心B.内心C.垂心D.外心4.设a=（2，－3），b=（x，2x），且3a·b=4，则x等于（）A.－3B.3C.D.5.已知∥，则x+2y的值为（）A.0B.2C.D.－26.已知向量a+3b，a-4b分别与7a-5b，7a-2b垂直，且

35、a

36、≠0，

37、b

38、≠0，则a与b的夹角为（）A.B.C.D.7.在三角形ABC中，点D是AB的中点，且满足，则8.设是两个不共线的向量，则向量b=与向量a=共线的条件是_______________9.圆心为O，半径为4的圆上两弦

39、AB与CD垂直相交于点P，若以PO为方向的单位向量为b，且

40、PO

41、=2，则=_______________10.已知O为原点，有点A（d，0）、B（0，d），其中d>0，点P在线段AB上，且（0≤t≤1），则的最大值为______________11.设a，b是不共线的两个向量，已知若A、