广东省汕头市潮阳林百欣中学高考数学考前训练题 人教版

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1、广东省汕头市潮阳林百欣中学高考数学考前训练题（2006-5-8）——解析几何综合题许吟裕（xsx12345@21cn..com）1．如图：已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,经过右焦点F倾斜角为的直线与椭圆交于A,B两点,且,点在该椭圆上.(Ⅰ)求椭圆C的离心率的值,并求椭圆C的方程；(Ⅱ)在椭圆C内部是否存在一点,使得?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)设,椭圆C的右准线为,过A,B分别作的垂线,垂足分别为过B作,垂足为D.由圆锥曲线的统

2、一定义知:…………3分在直角三角形中,　　　故………6分设椭圆C的方程为:将代入得所以:椭圆C的方程为:……………………7分(Ⅱ)假设存在满足条件,设据题意直线………①……………………………8分故……………9分即:……………②………10分将①代入椭圆的方程　并整理得:……………………③由根与系数的关系知………………………④……………11分将④代入②得即:故或(不合题意,舍去)综上所述:存在点满足条件.………14分2．已知椭圆，它的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.（Ⅰ

3、）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F，左准线为l1，动直线l2垂直l1于点P，线段PF的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（Ⅲ）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值范围.解：（Ⅰ）由题意可得，（2分）由，得，∴（3分）∴C1的方程为（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C1的左焦点为F（－1，0），左准线为l1：x=－3,（5分）连结FM，则，设M（x，y），则P（－3,y）,∴，（7分）化简得C2的方程为.（8分）（Ⅲ）设，∵C2与x轴的交点为Q（－2

4、，0），∴，（9分）由，得，（10分）化简，得（11分）∴（12分）∵，又∵，∴当时，（13分）故的取值范围是.（14分）3．已知两定点Ａ（－ｔ，０）和Ｂ（ｔ，０），ｔ＞０．Ｓ为一动点，ＳＡ与ＳＢ两直线的斜率乘积为．１）求动点Ｓ的轨迹Ｃ的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；２）当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线对称？1）解：设S（x，y），SA斜率=，SB斜率=，（2分）由题意，得，（4分）经整理，得．（６分，未指出x的范围，扣1分）点Ｓ的轨迹Ｃ为双曲线（除去两顶点）．（7分）2）解：假

5、设C上存在这样的两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），则PQ直线斜率为－1，且Ｐ、Ｑ的中点在直线ｘ－ｙ－１＝０上．设PQ直线方程为：ｙ＝－ｘ＋ｂ，由整理得．（９分）其中时，方程只有一个解，与假设不符．当时，D＞０，D＝＝，所以，（＊）（１０分）又，所以，代入ｙ＝－ｘ＋ｂ，得，因为Ｐ、Q中点在直线ｘ－ｙ－１＝０上，所以有：，整理得，（＊＊）（１１分）解（＊）和（＊＊），得－１＜ｂ＜０，０＜ｔ＜１，（１３分）经检验，得：当ｔ取（０，１）中任意一个值时，曲线Ｃ上均存在两点关于直线ｘ－ｙ－１＝０对称．（１

6、４分）xyABCOF1F24．如图，为椭圆上的一个动点，弦分别过焦点．当垂直于轴时，恰好．（I）求该椭圆的离心率；（II）设，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．解：（I）当C垂直于x轴时，由，得，…2分在Rt△中，【或由A（c，），得＝】解得=．…4分（II）由=，则，．…6分焦点坐标为，则椭圆方程为，化简有．设，，①若直线的斜率存在，则直线方程为代入椭圆方程有．由韦达定理得：，∴…8分所以，同理可得故=．…10分②若直线轴，，，∴＝6．…12分综上所述：是定值6．…14分

7、5．给定二次曲线系：．（Ⅰ）试求方程分别表示椭圆和双曲线的条件；（Ⅱ）设直线与轴交于点，是否存在曲线Ck交直线于、两点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）已知Ck与直线有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程．解：（Ⅰ）当且仅当即时，方程表示椭圆；2分当且仅当，即时，方程表示双曲线．4分（Ⅱ）设，由得为的中点，且，则，………6分联立化简得，，，………………………8分∴，即不成立，故不存在曲线Ck交直线于、两点，使得．………10分（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）联立化简得，≥0，即≥6或k≤4（舍）

8、，…12分∵双曲线实轴最长，∴k取最小值6时，最大即双曲线实轴最长，此时双曲线方程为．………15分解法二：若Ck表示双曲线；则，不妨设双曲线方程为，联立得，与直线有公共点，∴即，∴，……………14分∴实轴最长的双曲线方程为．……………15分解法三：不妨先求得关于直线的对称点，设直线与双曲线左支交点为M，则，13分∴，……………14分∴实轴最长的双曲线方程为．……………15分6．已知抛物线y2=2(x+)的焦点为F，准线为l，试判断：是否存在同时满足以下两个条件的双曲线