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《广东省汕头市潮阳林百欣中学高考数学考前训练题 人教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、广东省汕头市潮阳林百欣中学高考数学考前训练题(2006-5-8)——解析几何综合题许吟裕(xsx12345@21cn..com)1.如图:已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,经过右焦点F倾斜角为的直线与椭圆交于A,B两点,且,点在该椭圆上.(Ⅰ)求椭圆C的离心率的值,并求椭圆C的方程;(Ⅱ)在椭圆C内部是否存在一点,使得? 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)设,椭圆C的右准线为,过A,B分别作的垂线,垂足分别为过B作,垂足为D.由圆锥曲线的统
2、一定义知:…………3分在直角三角形中, 故………6分设椭圆C的方程为:将代入得所以:椭圆C的方程为:……………………7分(Ⅱ)假设存在满足条件,设据题意直线………①……………………………8分故……………9分即:……………②………10分将①代入椭圆的方程 并整理得:……………………③由根与系数的关系知………………………④……………11分将④代入②得即:故或(不合题意,舍去)综上所述:存在点满足条件.………14分2.已知椭圆,它的离心率为,直线与以原点为圆心,以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.(Ⅰ
3、)求椭圆C1的方程;(Ⅱ)设椭圆C1的左焦点为F,左准线为l1,动直线l2垂直l1于点P,线段PF的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(Ⅲ)设C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足,求的取值范围.解:(Ⅰ)由题意可得,(2分)由,得,∴(3分)∴C1的方程为(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可得椭圆C1的左焦点为F(-1,0),左准线为l1:x=-3,(5分)连结FM,则,设M(x,y),则P(-3,y),∴,(7分)化简得C2的方程为.(8分)(Ⅲ)设,∵C2与x轴的交点为Q(-2
4、,0),∴,(9分)由,得,(10分)化简,得(11分)∴(12分)∵,又∵,∴当时,(13分)故的取值范围是.(14分)3.已知两定点A(-t,0)和B(t,0),t>0.S为一动点,SA与SB两直线的斜率乘积为.1)求动点S的轨迹C的方程,并指出它属于哪一种常见曲线类型;2)当t取何值时,曲线C上存在两点P、Q关于直线对称?1)解:设S(x,y),SA斜率=,SB斜率=,(2分)由题意,得,(4分)经整理,得.(6分,未指出x的范围,扣1分)点S的轨迹C为双曲线(除去两顶点).(7分)2)解:假
5、设C上存在这样的两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),则PQ直线斜率为-1,且P、Q的中点在直线x-y-1=0上.设PQ直线方程为:y=-x+b,由整理得.(9分)其中时,方程只有一个解,与假设不符.当时,D>0,D==,所以,(*)(10分)又,所以,代入y=-x+b,得,因为P、Q中点在直线x-y-1=0上,所以有:,整理得,(**)(11分)解(*)和(**),得-1<b<0,0<t<1,(13分)经检验,得:当t取(0,1)中任意一个值时,曲线C上均存在两点关于直线x-y-1=0对称.(1
6、4分)xyABCOF1F24.如图,为椭圆上的一个动点,弦分别过焦点.当垂直于轴时,恰好.(I)求该椭圆的离心率;(II)设,,试判断是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.解:(I)当C垂直于x轴时,由,得,…2分在Rt△中,【或由A(c,),得=】解得=.…4分(II)由=,则,.…6分焦点坐标为,则椭圆方程为,化简有.设,,①若直线的斜率存在,则直线方程为代入椭圆方程有.由韦达定理得:,∴…8分所以,同理可得故=.…10分②若直线轴,,,∴=6.…12分综上所述:是定值6.…14分
7、5.给定二次曲线系:.(Ⅰ)试求方程分别表示椭圆和双曲线的条件;(Ⅱ)设直线与轴交于点,是否存在曲线Ck交直线于、两点,使得?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(Ⅲ)已知Ck与直线有公共点,求其中实轴最长的双曲线方程.解:(Ⅰ)当且仅当即时,方程表示椭圆;2分当且仅当,即时,方程表示双曲线.4分(Ⅱ)设,由得为的中点,且,则,………6分联立化简得,,,………………………8分∴,即不成立,故不存在曲线Ck交直线于、两点,使得.………10分(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)联立化简得,≥0,即≥6或k≤4(舍)
8、,…12分∵双曲线实轴最长,∴k取最小值6时,最大即双曲线实轴最长,此时双曲线方程为.………15分解法二:若Ck表示双曲线;则,不妨设双曲线方程为,联立得,与直线有公共点,∴即,∴,……………14分∴实轴最长的双曲线方程为.……………15分解法三:不妨先求得关于直线的对称点,设直线与双曲线左支交点为M,则,13分∴,……………14分∴实轴最长的双曲线方程为.……………15分6.已知抛物线y2=2(x+)的焦点为F,准线为l,试判断:是否存在同时满足以下两个条件的双曲线