多题一解 一箭双雕 专题辅导

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1、多题一解一箭双雕谌祖辉人教版高中数学新教材第二册（上）第八章有这样三道习题：（1）（P133B组第3题）过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B两点向准线作垂线，垂足分别为C、D，求证：∠CFD＝90°。（2）（P199习题第7题）过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为，求证：（3）（P123习题第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于A、B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交于准线于点M，求证：直线BM平行于抛物线的对称轴。这三道习题都与过焦点的直线有关，因此它们必有必然的联系。现就说明如下：（1）证明：如图1，准线与x轴相交于点E，

2、由抛物线的定义，可知AF＝AC，BF＝BD，∴∠ACF＝∠AFC，∠BDF＝∠BFD，∵∠CFE＝∠ACF，∠DFE＝∠BDF（两直线平行，内错角相等）∴∠CFE＝∠AFC，∠DFE＝∠BFD∴∠CFE＋∠DFE＝∠AFC＋∠BFD又∵∠AFC＋∠CFE＋∠DEF＋∠BFD＝180°∴∠CFD＝∠CFE＋∠DFE＝90°（2）证明：如图1，设A、B两交点的纵坐标分别为则∵∠CFD＝90°，EF⊥CD∴（射影定理）即（3）证明：不妨设抛物线为则问题转为证BM平行于x轴，也即须证B、M两点的纵坐标相同。如图2因为A，B在抛物线上，所以可设则直线AO的方程为：准线方程为：由

3、得交点M的纵坐标为：∵由（2）知∴∴BM平行于x轴。其实上述三题的证法可归纳为同一证法，而且这三题之间还有这一关系，只要证出其中任一题的结论，都可在此基础上证出其它两题的结论。由此可见，如果我们平时在解题时多注意挖掘题目的条件，搜寻各题之间存在的关系，那么在今后解题时就可以做到举一反三，触类旁通，达到一箭双雕之功效。上述三题都是关于过抛物线焦点的直线的问题，我们把过抛物线的焦点，且端点在抛物线上的线段称为抛物线的焦点弦。由（3）容易得如下结论：过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B两点向准线作垂线，垂足分别为C、D，由A、O、D三点共线，B、O、C三

4、点也共线，其中O为坐标原点。关于抛物线的焦点弦在此基础上还容易得出以下一些性质：（4）在（1）中，如果A，B两点的横坐标分别为则证明：求抛物线的定义知，由（2）知（5）若AB的倾斜角为，则如图3，作BH⊥AC于H，则由（2）知又由（4）可知由①②得：即（6）过抛物线焦点的所有弦中，最短的弦长是2p。证明：由（5）知，抛物线的焦点弦长∵∴当时，焦点弦长最短，最小值为2p。