八年级数学正方形 同步练习5华师版

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1、正方形(5)【学习目标】1．探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形．2．能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．【基础知识概述】1．正方形定义：(1)有一组邻边相等并且有—个角是直角的平行四边形叫做正方形．(2)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有—个角是直角的菱形．(3)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．2．正方形的特征：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．(1)边——四边相等、邻边垂直、对边平行．(2)角——四角都是直角．(3)对角线——①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角．(4)是轴对称图形，有4条对称

2、轴．3．正方形的识别方法：(1)一组邻边相等的矩形是正方形．(2)—个角是直角的菱形是正方形．4．正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图12-2-13．5．正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半．【例题精讲】例1如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC

3、，∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．例2如图12-2-15，△AB

4、C中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得)注意：灵活选择正方形的识别方法．例3如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是

5、等边三角形，求∠BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC＝150°．解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB

6、＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知

7、如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°．在△ABC和△SDB中，∵∠ACB＝∠SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠4＝∠5∴△ABC与△SDB重合，∴AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18，

8、延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝