高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.2最大值最小值问题导学案北师大版选修1

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1、4.2.2　最大值、最小值问题学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点　函数的最大(小)值与导数如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像.思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值.答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).思考2　结合图像判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案　不一定，也可能

2、是区间端点的函数值.梳理　(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.(2)求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.类型一　求函数的最值命题角度1　不含参数的函数求最值例1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0，2π].解　(1)因为f(x)＝2x3－12x，所以f′(x

3、)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝.因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f()＝＋，f()＝－.所以当x＝0时，f(x)有最小值0；当x＝2π时，f(x)有最大值π.反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.

4、(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]的最值.解　∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1).∵在区间[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，∴函数f(x)在区间[2，5]上是减少的，∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.命题角度2　含参数的函数求最值例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点

5、(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0，2]上的最大值.解　(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上是增加的，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上是减少的，从而f(x)max＝f(0)＝0.当0<<2，即0

6、max＝反思与感悟　由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.跟踪训练2　已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.解　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)在[0，1]上是减少的，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0；若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.由x∈[0，1]，则只考虑x＝的情况.①当0<<1，即0

7、(x)↗2a↘故f(x)max＝f()＝2a；②当≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0，1]上是增加的，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；当00，求f(x)的最小值为2时m的值.解　因为f′(x)＝(