高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.2最大值、最小值问题导学.

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1、4.2.2最大值、最小值问题【学习目标】1•理解函数最值的概念，了解英与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区

2、'可上函数的最值.IF问题导学知识点函数的最大(小)值与导数如图为y=f3,xw［曰,思考1观察冷，刃上函数y=f^的图像，试找出它的极大值、极小值.答案极大值为f(X'),fg),极小值为f(X2),fg).思考2结合图像判断，函数在区间［白，方］上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少?答案存在，=/(

3、数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间冷，方］上函数y=f^的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.(2)求函数在闭区间3,方］上的最值的步骤：①求函数y=fx)在(曰，力)内的极値;②将函数尸f3的各极值与端点处的函数值HQ,比较，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.题型探究类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列函数的最值：(1)Ax)=2/-12%,xe［-2,3］；(2)f{x)=~y+sinxrxE［0,2n］.解⑴因为f(x)=2/-12x,所以f3=6#—12=6匕+住)(x—y［2),令尸(劝=0,解得x

4、=—y［2或x=£.因为f(—2)=8,A3)=18,f£)=_邮,f(-y/2)=8y/2；所以当时，fd)取得最小值一8边；当x=3时，f(x)取得最大值18.⑵尸(x)=*+cosx,令尸(方=0,又圧［0,2n］,解得x=^~或*=¥•因为f(0)=0,f(2n)=兀，所以当x=0时，fCv)有最小值0；当x=2n时，f(x)有最大值H.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验r(%)=0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练1求函

5、数f{x)=er(3—/),xE［2,5］的最值.解'：/'(%)=3ev—ex,f(%)=3eA—(eV+2e'x)=—e'(,+2x—3)=—eJ+3)(x—1).T在区间［2,5］上,f'(x)=—e"(x+3)(x—1)<0,・・・函数fd)在区间［2,5］上是减少的,・••当x=2时，函数f(x)取得最大值/(2)=—e2；当/=5时，函数fd)取得最小值A5)=-22e5・命题角度2含参数的歯数求最值例2已知日是实数，函数f(x)=/(x—日)・(1)若f!(1)=3,求臼的值及曲线y=fd)在点(1,f(l))处的切线方程;(2)求代方在区间［0,2］

6、上的最大值.解(1)尸(方=3,—2&¥.因为尸(1)=3—2已=3,所以吕=0.又当&=0时，f(l)=l,f(1)=3,所以曲线y=fx)在点(1,f(l))处的切线方程为3x—y—2=0.(2)令尸3=0,解得/=0,疋=~^~.当丁W0,即日W0时，f(x)在［0,2］上是增加的,从而f(x)^=f(2)=8~4a.当y^2,即臼23时，f(力在［0,2］上是减少的，从而f(X)max=f(O)=0.27当0

7、0a>2.反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化•所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.跟踪训练2己知仪为常数，求函数/'(%)=-/+3^(0^a<1)的最大值.解f(力=—3#+3日=—3(#—日)・若臼W0,则尸(x)W0,函数Hx)在［0,1］上是减少的，所以当x=0时,f(x)有最大值A0)=0；若日>0,则令尸(0=0,解得/=±y［a.由xW［0,1］,则只考虑x=y［a的情况.①当0<£<［,即0<臼〈1时，当无变化时，F(方，fd)随”的变化情况如下表：X(0,y[a)(诵，1)f

8、3+0——f372a[a故/'（劝叫=/'（诵）=2迅/^；②当、/即时，r（030,函数在［0,1］上是增加的，当；r=l吋，f（方有最大值Al）=3a-1.综上，当自W0,/=0时，代方有最大值0；当0v）=lnx+~f刃>0,求f（x）的最小值为2吋加的值.xm解因为尸3=—丁30）,X所以当xe（0,ni）时，ff（x）<0,代方在（0,/〃）上是减少的，当xE5,+8）吋，f（方>0,f（x）在S,+°°）上是增加的