高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.1实际问题中导数的意义导学案北师大版选修1

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1、4.2.1　实际问题中导数的意义学习目标　1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题.知识点　实际问题中导数的意义思考　某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.(1)t从1s到4s时W关于t的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意义是什么？(3)W′(1)的实际意义是什么？答案　(1)＝＝11J/s.(2)它表示从t＝1s到t＝4s这段时间内，这个人平均每秒做功11J.(3)W′(t)＝3t2－8t＋1

2、0，W′(1)＝5表示在t＝1s时每秒做功5J.梳理　(1)在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特.功率是功关于时间的导数.(2)在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标.降雨强度是降雨量关于时间的导数.(3)在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本.类型一　导数

3、在物理学中的意义例1　某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s).(1)求当t从1s变到3s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义.解　(1)当t从1s变到3s时，s关于t的平均变化率为＝＝＝11m/s.它表示从t＝1s到t＝3s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7m/s，s′(2)＝4×2＋3＝11m/s.s′(

4、1)表示的是该质点在t＝1s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1s这个时刻的瞬时速度为7m/s.s′(2)表示的是该质点在t＝2s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2s这个时刻的瞬时速度为11m/s.反思与感悟　根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等.因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解.跟踪训练1　某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3，y是x的函数，且y＝f(x)＝.

5、(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？(2)求f′(27)，并解释它的实际意义.解　(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝(m3/min).(2)f′(x)＝，于是f′(27)＝×27＝(m3/min)，实际意义为当时间为27min时，水流量增加的速度为m3/min，也就是当时间为27min时，每增加1min，水流量增加m3.类型二　导数在经济生活中的应用例2　某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2

6、050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义.解　当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2675元变到C(20)＝3350元.此时总成本的平均改变量为＝67.5(元/件)，其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量.引申探究1.若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义.解　因为C′(x)＝x＋60，所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元.2.若本例的条

7、件“C(x)＝x2＋60x＋2050”变为“C(x)＝x2＋ax＋2050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5”，求a的取值范围.解　因为C′(x)＝x＋a，所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，即C′(75)＝×75＋a>97.5，解得a>60.反思与感悟　生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)中，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本.跟踪训练2　已知某商品的成本函数为C(Q)＝100＋(Q为产品的数量).(1)求

8、Q＝10时的总成本、平均成本及边际成本；(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？解　(1)Q＝10时的总成本C(10)＝100＋＝125；Q＝10时的平均成本＝＝12.5.边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，故边际成本C′(Q)＝Q，Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.(2)由(1)得，平均成本＝＝＋，而＋≥2