高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.1实际问题中导数的意义学案北师大版选修1

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1、4.2．1　实际问题中导数的意义课标解读1.利用实际问题加强对导数概念的理解..2.能利用导数求解有关实际问题实际问题中导数的意义【问题导思】　问题：某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.(1)t从1s到4s时W关于t的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意思什么？(3)W′(1)的实际意义是什么？【提示】　(1)＝＝11(J/s)．(2)它表示从t＝1s到t＝4s这段时间内，这个人平均每秒做功11J.(3)W′(t)＝3t2－8t＋1

2、0.W′(1)＝5表示在t＝1s时每秒做功5J.1.在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特，功率是功关于时间的导数．2.在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度．它是反映一次降雨大小的重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的导数．3.在经济学中，通常把生产成本关于产量的函数的导数称为边际成本．导数在物理学中的意义　某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．(1)求当t从1s变到3s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求当s′(1

3、)，s′(2)，并解释它们的实际意义．【思路探究】　(1)套用公式即可求出平均变化率，即该质点在该段时间内的平均速度；(2)求出导数s′(t)，它表示t时刻该质点的瞬时速度．【自主解答】　(1)当t从1s变到3s时，s关于t的平均变化率为＝＝＝11(m/s)．它表示从t＝1s到t＝3s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s′(1)表示的是该质点在t＝1s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1s

4、这个时刻的瞬时速度为7m/s.s′(2)表示的是该质点在t＝2s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2s这个时刻的瞬时速度为11m/s.根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解．　某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3，y是x的函数，y＝f(x)＝.(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？(2)求f′(27)，并解释它的实际意义．【解

5、】　(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝(m3/min)，它表示时间从1min增加到8min的过程中，每增加1min水流量平均增加m3.(2)f′(x)＝x－，于是f′(27)＝×27－＝(m3/min)，实际意义为当时间为27min时，水流量增加的速度为m3/min，也就是当时间为27min时，每增加1min，水流量增加m3.导数在经济生活中的意义　某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2050.求(1)当日产量由10件

6、提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义；(2)当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．【思路探究】　(1)利用函数平均变化率计算，然后结合实际问题解释．(2)用瞬时变化率的意义解释．【自主解答】　(1)当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2675元变到C(20)＝3350元．此时总成本的平均改变量为＝67.5(元/件)，其表示产量从x＝10件提高到x＝20件时平均每件产品的总成本的改变量．(2)∵C′(x)＝x＋60，∴C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当产量为75件时，

7、每多生产一件产品，需增加成本97.5元．生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)中，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本．　建造一幢长度为xm的桥梁需成本y万元，函数关系为y＝f(x)＝(x2＋x＋3)(x>0)．(1)当x从100变到200时，平均每米的成本为________；(2)f′(100)＝________，其实际意义为________．【解析】　(1)f(100)＝1010.3，f(200)＝4020.3，∴＝30.1(万元/m)

8、，即平均变化率为30.1万元/m.(2)f′(x)＝(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(万元/m)，即当长度为100m时，每增加1m的长度，成本就增加20.1万元．【答案】　(1)30.1万元(2)20.1万元/m　当长度为100m时，每增加1m的长度成本