高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示也谈高考热点_数量积素材北师大版必修4

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1、也谈高考热点—数量积数量积是平面向量的一朵奇葩，其运算形式有与两种。用数量积来处理有关长度、角度、垂直关系，及构造不等式与函数都有其独到之处。因此关于数量积的考查，也成为高考命题的热点。以下就其在高考中的考查形式，分类例述如下一、求长度例1设向量满足，,则的值是　　　分析：本题考查向量的代数运算，必须要熟练掌握数量积与向量加减法运算。解析：，故，所以评注：求向量的模，通常是转化为向量的平方，利用向量的数量积来解决。这是解决向量长度的一种重要方法。二、求角例2已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是()A.[0,]B.C.D.分析：要求两向量夹

2、角，必须回到向量数量积的运算公式上来处理。解：且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ=≤，∴θ∈，选B.评注：将向量的运算揉合在方程之中，这也是近年高考对向量考查的一个方向。但万变不离其宗，只要我们能理解题意，回到向量数量积的运算上来，就能使问题迎刃而解。三、判断几何位置例3设点O是平面上的一定点，点A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则P点一定通过△ABC的（）A、外心、B、内心C、重心D、垂心分析：考虑在△ABC中，，以及，故在等式两边作的数量积来求解。解：在等式两边分别作的数量积，则有：故，由，得到P点通过△ABC的垂心，选

3、D评注：许多有关向量点的位置判定，利用数量积的运算常可收到意想不到的效果。在运用数量积时，要注意两向量的夹角的定义，如本例中的夹角是而非角B四、构造不等式例4设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)分析：解决此种题型首先要将各向量用坐标正确表示出来，然后利用数量积运算，得出关于参数的不等式。解：解得:因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B.评注：本题主要考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.这类题通常是借数量积来得出不等式，要求我们能熟练进行运算。五、

4、构造函数例5设函数，其中向量，，，。（１）、求函数的最大值和最小正周期；（２）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。分析：向量与三角函数结合在一起，是近年高考考查三角函数与向量的常见题型。解题的关键就是对向量与三角函数的运算要到位。解：(1)由题意得=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)=sin2x－2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x－sin2x=2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.（2）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即

5、x＝,k∈Z，于是＝（，－2），k∈Z.因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时＝（―，―2）即为所求.评注：此类题型主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。向量数量积在高考中，不仅能单独成题，也时常与其它知识结合在一起考查。解决好有关试题，要求我们熟练掌握数量积的运算与性质，尤其要注意向量夹角的定义；求模的大小时的转化等。