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1、1.已知一个(5,3)线性码C的生成矩阵为：（1）求系统生成矩阵；（2）列出C的信息位与系统码字的映射关系；（3）求其最小Hamming距离，并说明其检错、纠错能力；（4）求校验矩阵H；（5）列出译码表，求收到r=11101时的译码步骤与译码结果。解：（1）线性码C的生成矩阵经如下行变换：得到线性码C的系统生成矩阵为（2）码字的编码函数为生成了的8个码字如下信息元系统码字0000000000100111010010100110110110010011101101001101100111111110(3)最小
2、汉明距离d=2，所以可检1个错，但不能纠错。(4)由，得校验矩阵(5)消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由c=mGs得码字序列c0=00000,c1=00111,c2=01010,c3=01101,c4=10011,c5=10100,c6=11001,c7=11110则译码表如下：0000000111010100110110011101001100111110100001011111010111010001100100010010111001000011110001
3、000101110111110010001101100000100110010110110010010101011100011111当接收到r=(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c=01101。2．设（7,3）线性码的生成矩阵如下（1）求系统生成矩阵；（2）求校验矩阵；（3）求最小汉明距离；（4）列出伴随式表。解：（1）生成矩阵G经如下行变换得到系统生成矩阵：（2）由，得校验矩阵为（3）由于校验矩阵H的任意两列线性无关，3列则线性相关，所以最小汉明距离d=3。（4
4、）（7,3）线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由c=mGs得码字序列：c0=0000000，c1=0010111，c2=0101010，c3=0111101，c4=1001101，c5=1011010，c6=1100111，c7=1110000。又因伴随式有24=16种组合，差错图样为1的有，差错图样为2的有，而由，则计算陪集首的伴随式，构造伴随表如下：伴随式陪集首伴随式陪集首00000000000010110010001101100000010011000
5、1001010010000011110011000011100100001100000110010000001000111001001000100000010010110100001001000000100011001010000010000001011000001103．已知一个(6,3)线性码C的生成矩阵为：（1）写出它所对应的监督矩阵H；（2）求消息M=(101)的码字；（3）若收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。解：（1）线性码C的生成矩阵G就是其系统生成矩阵GS，所以其监督
6、矩阵H直接得出：（2）消息M=(m0,m1,m2)=(101)，则码字c为：（3）收到码字r=(101010)，则伴随式又（6,3）线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由c=mGs得码字序列：c0=000000，c1=001110，c2=010011，c3=011101，c4=100101，c5=101011，c6=110110，c7=111000。伴随式有23=8种情况，则计算伴随式得到伴随表如下：伴随式陪集首000000000101100000011010
7、000110001000100000100010000010001000001111100010伴随式（001）对应陪集首为（000001），而c=r+e，则由收到的码字r=(101010)，最有可能发送的码字c为：c=（101011）。4．设(6,3)线性码的信息元序列为x1x2x3，它满足如下监督方程组（1）求校验矩阵，并校验10110是否为一个码字；（2）求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。解：（1）由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为：因为收到的序列10110为5位，而由（6,3）线性码
8、生成的码字为6位，所以10110不是码字。（2）由，则生成矩阵为：信息码元序列M=（101），由c=mGs得码字为c：
