高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法学案新人教b版必修4

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1、2.1.3　向量的减法基础知识基本能力1．掌握向量的减法运算，并理解其几何意义．(重点、难点)2．理解向量的相反向量的意义，从而加深对向量减法的本质特征的领悟．(重点)1．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(难点)2．理解数的减法与向量的减法的联系与区别．(易混点)1．向量减法的定义(1)已知向量a，b(如图)，作＝a，＝b，则b＋＝a，向量叫做向量a与b的差，并记作a－b，即＝a－b＝－.(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．(3)

2、一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”．【自主测试1】如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量是(　　)A．a－bB．b－aC．b＋2aD．b＋a答案：B2．相反向量的定义和性质及向量减法的再理解(1)定义．与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图所示)．(2)性质．①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；②－(－a)＝a；③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.(3)向量减法的再理解．从一个向量减去另一个向量等于

3、加上这个向量的相反向量．因此关于向量减法的作图，一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图．相反向量和相反数一样吗？答：相反向量与相反数是不一样的，相反数是两个数的符号相反，大小相等；相反向量则是两个向量的方向相反，大小相等．【自主测试2】若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为(　　)A．a＋bB．－a－bC．－a＋bD．a－b解析：由平行四边形的对角线互相平分的性质，知＝－，即＝－a，所以＝－＝－a－b.答案：B1．向量减法的三角形法则与平行四边形法

4、则的比较剖析：a－b的作法从“相反向量”这个角度有两种：三角形法则和平行四边形法则．(1)减法的三角形法则．∵(a－b)＋b＝a＋(－b)＋b＝a＋0＝a，∴在平面内取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．具体作法如图(1)(a，b不共线)及图(2)(a，b共线)．(1)(2)(2)减法的平行四边形法则．当a，b不共线时，如图(3)，在平面内任取一点O，作＝a，＝－b，则由向量加法的平行四边形法则，可得＝a＋(－b)＝a－b，这是向量减法的平行四边形法则

5、．若a，b同向共线，如图(4)；若a，b反向共线，如图(5)．(3)知识归纳(1)向量的减法是向量加法的逆运算．求两个向量的差，必须把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为始点，以被减向量的终点为终点的向量．(2)以向量＝a与＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后的应用中非常重要．2．教材中的“探索与研究”在坐标纸上或用作图软件画两个向量，然后作它们的和，研究当两个向量的方向发生变化时，它们的和向量变化的情况．你从中能得到哪些结论？写出

6、小论文谈谈你对向量和的认识，并与老师和同学交流．剖析：设向量a和b，当向量a和b的方向发生变化时，其和向量a＋b会发生变化，当a与b共线且同向时，a＋b的模最大，

7、a＋b

8、＝

9、a

10、＋

11、b

12、；当a与b共线且方向相反时，不妨设

13、a

14、＞

15、b

16、，此时a＋b的模最小，

17、a＋b

18、＝

19、a

20、－

21、b

22、.题型一向量的减法运算【例题1】化简：(1)－－；(2)(－)－(－)．解：(1)－－＝－－＝－＝.(2)(－)－(－)＝(－)－(＋)＝－＝0.反思(1)在运用交换律与结合律进行向量的减法运算时，要连同符号一起交换再结合．(

23、2)根据向量的加法与减法运算的关系知，减法运算可以转化为加法运算，即减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量．题型二向量加减法的几何作图【例题2】如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.分析：首先在平面内选一始点，然后利用向量加法和向量减法的作图法则作图(平移向量时要注意向量箭头的方向)．解：解法一：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c，如图所示．解法二：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，以B点为始点作＝－c，则＝a＋b－c，如图所示．反思求作

24、向量的和与差要注意三角形法则和平行四边形法则的应用，求作两个向量的差可以转化为两个向量的和来进行，如a－b，可以作出－b，然后再用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则两个向量的差向量是连接两个向量的终点，且指向被减向量的终点．〖互动探究〗已知向量a，b，c，如图，求作a－b－c.解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量减法的三角形法则，得＝a－b，＝a－b－c.题型