高中数学第三章概率3.3模拟方法__概率的应用知识导航北师大版必修3

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1、§3　模拟方法——概率的应用知识梳理1.我们知道可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率,但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验,既费时又费力,并且有时很难实现.因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.2.用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验,可以节约大量的时间和金钱,所以它是一种非常有效而且应用广泛的方法.例如,使用随机数来模拟大量的抛掷硬币的试验;求不规则图形的近似面积或不规则物体的近似体积;利用计算机模拟自然灾害的发生等.当现实中的试验难以实施或不可能实施时,模拟可以给我们提供一个解决问题的方案.知识

2、导学在古典概型中利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率,不过,古典概型要求的可能结果的总数必须是有限个.但现实中许多问题的结果却是无限多个,我们希望把这种做法推广到无限多结果,而又有某种等可能性的场合,得到随机事件的概率,这便用到模拟方法,如前面我们利用随机数表产生随机数来模拟抛掷硬币的试验、通过4人依次摸球来模拟摸奖活动等都是模拟方法.模拟方法的基本思想可以通过几何概型来体现.几何概型也是一种概率模型,它是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个;它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在

3、区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.大家可以通过一些实物模型(落在某区域内的芝麻、转盘等模型),体会几何概型的意义和几何概型的概率公式;结合实例弄清几何概型的两个基本特征:(1)无限性,在一次试验中,可能出现的结果有无限个;(2)等可能性,每个结果的发生是等可能的.利用模拟方法,可以来估计现实生活中某些随机事件的概率.疑难突破1.古典概型与几何概型的区别剖析:几何概型与古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的(等可能性是一致的);但几何概型的基本事件总数有无限多个,古典概型的基本事件总数有有限个.古典概型中试验的所有结果只有有限个,每次

4、试验只出现其中的一个结果,并且每一次试验结果出现的可能性相同;而几何概型中进行一次试验相当于向几何体G中取一点,对G内任意子集,事件“点取自g”的概率与g的测读(长度、面积或体积)成正比,而与g在G中的位置、形状无关.例如,抛掷硬币出现正面或者反面的概率属于古典概型问题,而向一个大小一定的正方形及其内切圆内随机丢一粒种子,求种子落入内切圆的概率,这就属于几何概型问题.古典概型中随机事件A的概率可以通过公式P(A)=来计算;而几何概型事件A的概率的计算公式为P(A)=2.用随机模拟估算几何概率剖析:随机模拟试验是研究随机事件的概率的重要方法.用计

5、算机或计算器模拟试验,关键是把实际问题中的事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围,即转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数来刻画影响随机事件结果的量.可从以下几个方面考虑:(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数;如长度、角度型只用一组,而面积型需要两组;(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围;(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式.典题精讲例1　某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想收听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.思路分析:假设他在0~6

6、0分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但0~60分钟之间有无穷多个时刻,故不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率,我们可以通过随机模拟的方法得到事件发生的概率的近似值,也可以通过几何概型的求概率公式得到.因为电台每隔1小时报时一次,他在0~60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得P(A)=,即“等待

7、报时的时间不超过10分钟”的概率为.绿色通道:本例中,打开收音机的时刻x是随机的,可以是0~60分钟之间的任一时刻,并且是等可能的,我们称x服从［0,60］上的均匀分布,x是［0,60］上的均匀随机数.变式训练　取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段都不少于1m的概率有多大?思路分析:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点,其基本事件有无限多个,所以,可用几何概型考虑.解:记“剪得两段都不少于1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生,由于中间一段的长度等于

8、绳长的,所以事件A发生的概率是P(A)=.例2　某汽车站每隔10分钟有一班汽车通过,求乘客候车时间不超过4