高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系课堂探究学案新人教a版选修4

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1、一　平面直角坐标系课堂探究探究一用平面直角坐标系解决实际问题解决此类问题的关键是：如何建立平面直角坐标系，将几何位置量化，通过有关距离的知识求解．另外，我们还要注意数形结合的思想方法的应用．【例题1】已知B村庄位于A村庄的正西方向1km处，原计划在经过B村庄且沿着北偏东60°的方向上埋设一条地下管线l，但在A村庄的西北方向400m处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100m范围划为禁区．试问，埋设地下管线l的计划需要修改吗？思路分析：解决这一问题的关键，在于确定遗址W与地下管线l的相对位置，如图以A为坐标原点

2、，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，只要求出点W到直线l的距离，则问题即可解决．解：以A为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(－1000,0)．由W位于A的西北方向及

3、AW

4、＝400，得W(－200，200)．由直线l过点B且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线l的方程是x－y＋1000＝0.于是，点W到直线l的距离为d＝＝＝500－100(＋)≈114＞100，所以埋设地下管线l的计划不需要修改．点评合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立

5、得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的繁琐，结果也不明确．探究二平面直角坐标系下的轨迹问题在解决能够判断曲线类型的问题时，待定系数法是求其标准方程的最佳选择；而不能判断其曲线类型时，则需要找准相等关系解决．【例题2】如图，在以点O为圆心，

6、AB

7、＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足

8、

9、MA

10、－

11、MB

12、

13、为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．思路分析：由曲线C上的点M满足的条件可以判断出曲线的类型是双曲线，从

14、而可以用待定系数法来求其方程．解：以O为坐标原点，AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系(坐标系略)，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(，1)，依题意得

15、

16、MA

17、－

18、MB

19、

20、＝

21、PA

22、－

23、PB

24、＝－＝(＋)－(－)＝2＜

25、AB

26、＝4.所以曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2,2a＝2，所以a2＝2，b2＝c2－a2＝2.故曲线C的方程为－＝1.探究三平面直角坐标系下的伸缩变换求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的

27、曲线方程，然后比较系数即可求解．【例题3】在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．思路分析：设出伸缩变换，代入2x′－y′＝4中，与x－2y＝2比较．解：设满足条件的伸缩变换为将其代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.所以直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍即可得到直线2x′－y′＝4.探究四易错辨析易错点：混淆原曲线上的点和所求曲线的点【例题4】在平面直角坐标系中，求方程x＋y＋2＝0所对应的

28、图形经过伸缩变换后的图形．错解：直线x＋8y＋4＝0.错因分析：点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．错解混淆了(x，y)和(x′，y′)的含义．正解：由坐标伸缩变换得代入x＋y＋2＝0，得2x′＋y′＋2＝0，所以8x′＋y′＋8＝0.故经过伸缩变换后，直线x＋y＋2＝0变成直线8x′＋y′＋8＝0.