高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式2学案新人教a版选修2

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1、1．2.1　排列(二)[学习目标]1．进一步加深对排列概念的理解．2．掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．[知识链接]　有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？答　所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求．解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种．(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地：(ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分

2、步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．(ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．②分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法．特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法采用分类法：n个不同元素的全排列有A种排法，m个元素的排列有A种排法，因此A种排法中关于m个元素的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有种排法．(2)间接法符合

3、条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差．故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”．[预习导引]1．排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝．A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1．2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：要点一　数字排列的问题例1　用0，1，2，3，4，5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？(4)

4、可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的不重复的四位数？解　(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．(4)

5、分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)．规律方法　排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现

6、在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素．解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．跟踪演练1　用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30000的五位偶数．解　(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A种不同的排列方法．

7、因此由分步乘法计数原理共有5×8×A＝13440个没有重复数字的五位奇数．(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30000大的五位偶数，可分两类：①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共A种取法．所以共有2×7×A种不同情况．②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A种选法，所以共有3×6×A种不同情况．由分类加法计数原理，比30000大的无重复数

8、字的五位偶数共有2×7×A＋3×6×A＝10752(个)．要点二　排队问题例2　3名男生，4名女生，按照不同