高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

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1、1.5正弦函数的图像与性质知识梳理1.任意角的正弦函数（1）单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.（2）定义如图1-4-1所示，单位圆与角α的终边交于P点.设P（a，b）,则P点纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记为b=sinα(α∈R).通常用x、y表示自变量和因变量，将正弦函数表示为y=sinx(x∈R).图1-4-1（3）正弦线如图1-4-1所示，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段MP叫做角α的正弦线.当角α的终边在x轴上时，M与P重合，此时正弦线变成一个点.（4）正弦线所表示的正弦值可如下确定：正弦线的方向是表示正弦值的符号，同y轴一致，向上为

2、正，向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.(5)正弦函数定义的推广如图1-4-2所示，设P（x,y)是α的终边上任意一点，图1-4-2P到原点的距离

3、OP

4、＝r，有r=,则sinα＝.对于每一个确定的角α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做正弦函数.正弦函数值与点P在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.2.周期函数一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期

5、中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明，一般都是指它的最小正周期.3.任意角的正弦值的符号（1）图形表示：各象限正弦函数符号，如图1-4-3所示.图1-4-3（2）表格表示.α的终边sinαx非负半轴0第一象限+y非负半轴+第二象限+x非正半轴0第三象限-y非正半轴-第四象限-4.正弦函数的图像和性质(1)图像：如图1-4-4所示.图1-4-4(2)性质.函数性质y=sinx定义域R值域［-1，1］当x=2kπ+(k∈Z)时，y取最大值1;当x=2kπ-(k∈Z)时，y取最小值-1周期2π奇偶性奇函数单调性增区间［-+2kπ,+2kπ］(

6、k∈Z)减区间［-+2kπ,+2kπ］(k∈Z)5.诱导公式x-απ-απ+α2π-α2kπ+α(k∈Z)sinx-sinαsinα-sinα-sinαsinα知识导学1.复习初中学过的锐角的正弦函数，本节是锐角的正弦函数的补充和延伸.2.任意角的正弦值的符号记忆口诀：“上正下负”.其含义是终边在x轴上方的任意角正弦值为正，在x轴下方的任意角正弦值为负.3.诱导公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.其含义是：-α，π±α，2π-a，2kπ+α(k∈Z)的正弦函数值等于α的正弦函数值，前面加上一个把α看成锐角时原正弦函数值的符号.