高中数学第3章不等式3.4.1基本不等式的证明学案苏教版必修5

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1、3.4.1 基本不等式的证明1.理解基本不等式的内容及证明.(重点)2.能运用基本不等式证明简单的不等式.(重点)3.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 算术平均数与几何平均数阅读教材P96,完成下列问题.对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.若两个正数a,b的算术平均数为2,几何平均数为2,则a=________,b=________.【解析】 由题意可知∴∴a=2,b=2.【答案】 2 2教材整理2 基本不等式阅读教材P97~P98,完成下列问题.如果a

2、,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时取“=”),我们把不等式≤(a≥0,b≥0)称为基本不等式.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对任意a,b∈R,都有a+b≥2成立.(  )(2)不等式a2+4≥4a成立的条件是a=2.(  )【答案】 (1)× (2)√[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_________________________________________________解惑:__________________________________________

3、_______疑问2:_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问3:_________________________________________________解惑:__________________________________________________[小组合作型]用基本不等式证明不等式 已知a,b,c为不全相等的正数.(1)求证:a+b+c≥++

4、;(2)求证:++≥a+b+c.【精彩点拨】 (1)利用a+b≥2,a+c≥2,b+c≥2求证;(2)利用+b≥2;+c≥2;+a≥2求证.【自主解答】 (1)∵a>0,b>0,c>0,∴a+b≥2,a+c≥2,b+c≥2.又a,b,c为不全相等的正数,∴a+b+c≥++.又a,b,c互不相等,故等号不能同时取到,所以a+b+c>++.(2)∵a,b,c,,,均大于0,∴+b≥2=2a,当且仅当=b时等号成立.+c≥2=2b,当且仅当=c时等号成立.+a≥2=2c,当且仅当=a时等号成立.相加得+b++c++a≥2a+2b+2c

5、,∴++≥a+b+c.利用基本不等式证明不等式的条件要求:(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.[再练一题]1.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1.求证:++≥9.【证明】 法一 ∵a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,∴++=++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.法二 ∵a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,∴++=(a

6、+b+c)=3+++≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时等号成立.[探究共研型]应用基本不等式应注意的问题探究1 不等式“x+≥2=2”成立吗?为什么?【提示】 不成立.如当x<0时,x+<0,显然不成立.探究2 当x<0时,能否应用基本不等式求解,x+的范围是多少?【提示】 可以,当x<0时,-x>0,∴x+=-≤-2=-2.当且仅当-x=-,即x=-1时等号成立,∴x+∈(-∞,-2].探究3 当x≥0时,如何求“x+”的最小值?【提示】 x+=(x+1)+-1≥2-1=2-1=1,当且仅当x+1=,即x=0时等号成

7、立. 求函数y=(x>-1)的最小值,并求相应的x值.【精彩点拨】 y=y=(x+1)++b求最小值【自主解答】 y===(x+1)++5,∵x>-1,∴x+1>0,∴y≥2+5=4+5=9.当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.∴函数y=(x>-1)的最小值为9,此时x=1.1.基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可.在解题过程中,为了达到使用基本不等式的条件,往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段,创设一个应用基本不等式的情境.2.应用基本不等式求函数最值,常见类型如下:(1)构造积为定值

8、,利用基本不等式求最值;(2)构造和为定值,利用基本不等式求最值.[再练一题]2.(1)已知0,求函数y=4x-2+的最小值.【导学号:91730065】【解】 (1)∵00,∴y=x(

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1、3.4.1 基本不等式的证明1.理解基本不等式的内容及证明.(重点)2.能运用基本不等式证明简单的不等式.(重点)3.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 算术平均数与几何平均数阅读教材P96,完成下列问题.对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.若两个正数a,b的算术平均数为2,几何平均数为2,则a=________,b=________.【解析】 由题意可知∴∴a=2,b=2.【答案】 2 2教材整理2 基本不等式阅读教材P97~P98,完成下列问题.如果a

2、,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时取“=”),我们把不等式≤(a≥0,b≥0)称为基本不等式.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对任意a,b∈R,都有a+b≥2成立.(  )(2)不等式a2+4≥4a成立的条件是a=2.(  )【答案】 (1)× (2)√[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_________________________________________________解惑:__________________________________________

3、_______疑问2:_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问3:_________________________________________________解惑:__________________________________________________[小组合作型]用基本不等式证明不等式 已知a,b,c为不全相等的正数.(1)求证:a+b+c≥++

4、;(2)求证:++≥a+b+c.【精彩点拨】 (1)利用a+b≥2,a+c≥2,b+c≥2求证;(2)利用+b≥2;+c≥2;+a≥2求证.【自主解答】 (1)∵a>0,b>0,c>0,∴a+b≥2,a+c≥2,b+c≥2.又a,b,c为不全相等的正数,∴a+b+c≥++.又a,b,c互不相等,故等号不能同时取到,所以a+b+c>++.(2)∵a,b,c,,,均大于0,∴+b≥2=2a,当且仅当=b时等号成立.+c≥2=2b,当且仅当=c时等号成立.+a≥2=2c,当且仅当=a时等号成立.相加得+b++c++a≥2a+2b+2c

5、,∴++≥a+b+c.利用基本不等式证明不等式的条件要求:(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.[再练一题]1.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1.求证:++≥9.【证明】 法一 ∵a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,∴++=++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.法二 ∵a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,∴++=(a

6、+b+c)=3+++≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时等号成立.[探究共研型]应用基本不等式应注意的问题探究1 不等式“x+≥2=2”成立吗?为什么?【提示】 不成立.如当x<0时,x+<0,显然不成立.探究2 当x<0时,能否应用基本不等式求解,x+的范围是多少?【提示】 可以,当x<0时,-x>0,∴x+=-≤-2=-2.当且仅当-x=-,即x=-1时等号成立,∴x+∈(-∞,-2].探究3 当x≥0时,如何求“x+”的最小值?【提示】 x+=(x+1)+-1≥2-1=2-1=1,当且仅当x+1=,即x=0时等号成

7、立. 求函数y=(x>-1)的最小值,并求相应的x值.【精彩点拨】 y=y=(x+1)++b求最小值【自主解答】 y===(x+1)++5,∵x>-1,∴x+1>0,∴y≥2+5=4+5=9.当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.∴函数y=(x>-1)的最小值为9,此时x=1.1.基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可.在解题过程中,为了达到使用基本不等式的条件,往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段,创设一个应用基本不等式的情境.2.应用基本不等式求函数最值,常见类型如下:(1)构造积为定值

8、,利用基本不等式求最值;(2)构造和为定值,利用基本不等式求最值.[再练一题]2.(1)已知0,求函数y=4x-2+的最小值.【导学号:91730065】【解】 (1)∵00,∴y=x(

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