高中数学第2章统计2.4线性回归方程教材梳理导学案苏教版必修3

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1、2.4　线性回归方程庖丁巧解牛知识·巧学一、相关关系变量之间的常见关系：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.如正方形的边长l与面积S之间就是确定性函数关系，可以用函数S=l2表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.如人的体重y与身高x有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分

2、析，发现规律，才能作出科学的判断.辨析比较函数关系与相关关系的区别与联系相同点：两者均是指两个变量间的关系；不同点：①函数关系是一种确定性关系，自变量的任一取值，因变量都有唯一确定的值与之对应；相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性；②函数关系是因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；③相关关系的分析方向及方法，由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关性的过程中，统计发挥着重要的作用，而函数关系则可以通过函数的性质来进行研究.二、线性回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归

3、分析.通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.1.散点图我们把表示具有相关关系的两个变量x、y的一组数据（xn，yn）（n=1，2，3，…）对应的一些点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图.如：某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：（单位：千克）施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之

4、间的关系表现得不是很确切，需要对数据进行分析.为此我们可以作统计图表，以便对两者有一个直观的印象和判断.除上述的统计图表外，我们还可以用另一种统计图——散点图来分析.以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图2-4-1：图2-4-1从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.可见散点图能直观形象地反映各对数据的密切程度.注意：如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图2-4-2的形状，则这两个变量之间不具有相关关系.如学生的身高与学生的数学成绩就没有相关关系.图2-4-2

5、可见利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.所以在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手.学法一得画出散点图，可以作出如下判断：①如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即说明变量之间具有函数关系.②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则说明变量之间具有相关关系.③如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系.2.最小二乘法一般地,设有n个观察数据如下：xx1x2x3…xnyy1y2y3…yn设有一直线方程=bx+a，Q(a,b)是直线=bx+a与各散点

6、在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,设法取a,b的值,使Q(a,b)达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法).其中点Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2取得最小值时,就称=bx+a为这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.上述式子展开后，是一个关于a或b的二次函数，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a、b的值，即（*）其中=，.求线性回归方程的步骤：计算平均数,；计算xi与yi的积，求∑xiyi；计算∑xi2；将结果代入公式求a；用b=-a求b

7、；写出回归方程.深化升华求相关变量的回归直线的意义：回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应能积极应用回归直线方程解决一些相关的实际问题，去进一步体会回归直线的应用价值.三、相关系数与相关性检验进行回归分析，通常先进行相关性检验.若能确定两个变量具有线性相关性，则再去求其线性回归方程，否则所求方程毫无意义.给定（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），只要x1，x2，x3，…，xn不全相

8、等，就能求出一条回归直线，可它有无意义就是一个大问题.由于根据散点图看数据点是否大致在一直线附近主观性太强，为此可以利用样本相关系数量化的检验法.样本相关系数：r=叫做变量y与x之间的样本相关系数（简称相关系数），用它来衡量它们之间的线性相关程度.

9、r

10、≤1，且

11、r

12、越接近于1，相关程度越大；

13、r

14、越接近于0，相关程度越小.统计学