高中数学《空间向量的运算》学案1 北师大版选修2-1

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1、空间向量及运算一.知识回顾:1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一

2、直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式．其中向量叫做直线的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间

3、一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①①式叫做平面的向量表达式7空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使8空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.9．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.10．向量的数量积：．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点

4、在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影.可以证明的长度．11．空间向量数量积的性质：（1）．（2）．（3）．12．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）（3）（分配律）．二.基本训练:1.（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（D）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）·c=a·c+b·cC.m（a+b）=ma+mbD.（a·b）c=a（b·c）2.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（B）图5

5、—1A.B.－C.3D.－33.（2001上海）如图5—1，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是（A）A.－a+b+cB.a+b+cC.a－b+cD.－a－b+c4.(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a·b）c－（c·a）b=0②

6、a

7、－

8、b

9、<

10、a－b

11、③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9

12、a

13、2－4

14、b

15、2中，是真命题的有（D）A.①②B.②③C.③④

16、D.②④5.（2002上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且

17、a

18、=2，

19、b

20、=5，则（2a－b）·a=__13___.6.（2001上海春，8）若非零向量α、β满足

21、α+β

22、=

23、α－β

24、，则α与β所成角的大小为___90°__.三.例题讲解:例1．已知在正三棱锥中，分别为中点，为中点，求证：例2．已知分别是空间四边形的边的中点，（1）用向量法证明四点共面；（2）用向量法证明：//平面；（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有例3．在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，求（1）的长；（2）直

25、线与所成角的余弦值。四、作业同步练习g3.1063空间向量1．已知，则向量与的夹角是（）2．已知，则的最小值是（）3．若向量夹角的余弦值为，则=（）14．已知点，则点关于轴的对称点的坐标为（）5．已知四面体中，两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）6．若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（）7．设，则与平行的单位向量的坐标为，同时垂直于的单位向量.8．设向量，计算及与的夹角，并确定当满足什么关系时，使与轴垂直.9．矩形中，已知面积，若边上存在唯一点，使得，（1）求的值；（2）是上的一点，在平面上的射影恰好是的

26、重心，求到平面的距离。10.直三棱柱，，分别是的中点，（1）求的长；（2）求的值；（3）求证：。