高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系1学案新人教b版必修2

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1、第一章1.2.3　空间中的垂直关系第一课时1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线面垂直的相关定理、推论和性质．2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质，并能利用以上定理和性质解决空间中的相关垂直性问题．1．直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示图形语言及画法有关名称重要结论如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的__________，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作________.把直线AB画成和表示平面的平行四边形的一边________.直线AB：平面α的____；平面α：直线AB的________；点O：________；线段

2、AO：点A到平面α的________；线段AO的长：点A到平面α的______.如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的__________直线垂直.【做一做1】如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的位置关系为(　　)．A．平行B．相交C．垂直D．不确定2．直线与平面垂直的判定定理与推论(1)判定定理：如果一条直线与平面内的________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线________这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．利用定义来判断直线与平面垂

3、直是不方便的，因为“任意一条直线”是不方便研究的，因此根据确定平面的条件，找到两条相交直线便可确定一个平面，这样易于判断直线和平面垂直．【做一做2－1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)．A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【做一做2－2】已知α是平面，a，b是直线，且a∥b，a⊥平面α，则b与平面α的位置关系是(　　)．A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交但不垂直1．对直线与平面垂直的理解剖析：(1)定义中的“任何直线”是说这条直线和平面内所有过交点的直线垂直．(2)直线和平面垂直

4、是直线和平面相交的一种特殊形式．(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，如若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．2．若一条直线垂直于平面内的无数条直线，探讨这条直线与平面的关系剖析：给出平面α内的一条直线a，在该平面内与直线a平行的直线有无数条，所有与a垂直的直线，必与a的平行线垂直，却不一定与平面α垂直．如图所示，直线B1C1与平面AC内的直线AB垂直，且在平面AC内与AB平行的所有直线都与B1C1垂直，但直线B1C1∥平面AC．因此以下两个命题均是错误的，需要引起重视．命题

5、①：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；命题②：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．3．教材中的“思考与讨论”(1)垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？(2)如何定义两平行平面的距离？剖析：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：AA′⊥α，AA′⊥β，求证：α∥β.证明：如图所示，设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β相交于直线b，b′和a，a′.∵AA′⊥α，AA′⊥β，∴AA′⊥a，AA′⊥a′.AA′，a，a′都在平面δ内，由平面几何知识：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．∴a∥a′，

6、∴a′∥α(线面平行的判定定理)．同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′，∴α∥β.(2)我们可以这样定义两平行平面的距离．由问题(1)可知，对于两个平行的平面α，β一定存在着与它们都垂直的直线，设为l，这样的直线l称为两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，如图所示，如果AA′，BB′都是平面α与β的公垂线段，那么AA′∥BB′.根据两个平面平行的性质定理，有AB∥A′B′，所以四边形AA′B′B是平行四边形，故AA′＝BB′.由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等．因此，我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离．题型一线面垂直

7、的判定定理的应用【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．分析：要证B1O⊥平面PAC，根据直线和平面垂直的判定定理，只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线．反思：(1)正方体是最常见的几何体，正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系，它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一．本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线