高中数学 第四章 圆与方程学案 新人教a版必修2

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1、【三维设计】2015高中数学第四章圆与方程学案新人教A版必修24．1圆的方程4．1.1　圆的标准方程圆的标准方程[提出问题]“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高．问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样．圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径．问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示：＝.问题3：以(1,2)为圆

2、心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？提示：＝3.[导入新知]圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．[化解疑难]1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．2．几种特殊位置的圆的标准方程：条件

3、圆的标准方程过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)点与圆的位置关系[提出问题]爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜，如图A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：问题1：点与圆的位置关系有

4、几种？提示：三种．点在圆外、圆上、圆内．问题2：如何判断他们的胜负？提示：利用点与圆心的距离．[导入新知]点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MA│r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2[化解疑难]1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆

5、上，点在圆外．2．判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．求圆的标准方程[例1]　过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4[解析]　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴

6、CA

7、＝

8、CB

9、.∴＝，解得a＝1.∴圆

10、心坐标为C(1,1)，半径长r＝

11、CA

12、＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.[答案]　C[类题通法]确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如解法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半

13、径，如解法二、三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[活学活用]1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；(3)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．解：(1)圆的半径长r＝＝，故圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.(2)设圆心为C(0，b)，则(3