高中数学 第三章 函数的应用末复习方案与全优评估 新人教a版必修1

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1、【创新方案】2013-2014学年高中数学第三章函数的应用末复习方案与全优评估新人教A版必修11．函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值．因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决．讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数．2．函数零点的存在性定理(1)该定

2、理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可．(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点情况二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数取决于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解的判别式Δ的符号，具体情况如下：(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数解，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c

3、(a≠0)有两个零点；(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数解，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点；(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数解，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)没有零点．4.函数应用(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型．其中第二步尤为关键．(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与

4、化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．函数零点的判断[例1]　设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(　　)A．可能有3个实数根　　　B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根[解析]　由f(－)·f()<0，知方程f(x)＝0在[－，]内有

5、实数根，而f(x)在[－1,1]上是增函数，∴f(－)<0，f()>0，易知方程f(x)＝0在[－1,1]内有唯一实数根．[答案]　C[借题发挥]　在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有唯一的零点，函数的零点的个数也可用数形结合法求解．1．函数f(x)＝x2＋x－b2的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．无数个解析：∵Δ＝1＋4b2>0，∴f(x)有两个零点．答案：C2．设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0所在区间是(　　)A．(0,1)B．(1,2)

6、C．(2,3)D．(3,4)解析：令f(x)＝lnx＋x－4，则f(1)＝1－4<0，f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋3－4＝ln3－1>0，∴x0∈(2,3)．答案：C函数零点的应用[例2]　已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．[解]　(1)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0,1]上有两个相等的实根，则有此时无解(2)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实根，①当有且只有一根在(0,1)上时，有或即或解得－2

7、f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0，根为x1＝0，x2＝－1，满足题意；③当f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x2＋3x－4＝0，根为x1＝1，x2＝－4，满足题意．综上所述：实数m的取值范围为[－2,0]．[借题发挥]　方程的根与函数的零点之间紧密相连，要灵活处理它们之间的关系并能灵活应用．当二次函数解析式中含有参数时，要注意讨论各种情况，不要遗漏．3．若方程

8、ax

9、＝x＋a(a>0)有两个解，则a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．∅解析：分三种情况，在同一坐标系中画出y＝

10、ax

11、

12、和y＝x＋a的图象如图：结合图象可知方程

13、ax

14、＝x＋a有两个解时，有a>1.答案：A已知函数模型解决实际问题[例3]　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)