高中数学 第一章 集合与函数 函数及其表示同步学案 新人教a版必修1

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1、1、2函数及其表示学习过程知识点1函数的定义域函数的定义域是函数三要素之关键，函数定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况：（1）f（x）为整式时，定义域为实数集.（2）f（x）为分式时，定义域为使分母不为零的实数的集合.（3）f（x）是二次根式（偶次根式）时，定义域为使被开方数非负的实数的集合.。如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.由实际问题建立的函数，除了要考虑其解析式有意义外，函数的定义域还要符合实际问题的要求.函数f（x+1）

2、、f（2x）、f（x2）的定义域都指的是自变量x本身取值的集合，一般地，函数f［g（x）］的定义域是［a，b］，指的是自变量x∈［a，b］.已知f（x）的定义域为［a，b］，则f［g（x）］的定义域是指满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围.对于含有字母的函数，求其定义域时，必须对字母作分类讨论，并要注意函数的定义域为非空数集.知识点2函数的值域函数的值域就是函数值的集合｛f（x）

3、x∈A｝，也是一个非空数集.求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用.要求函数的值域，首先应求其定

4、义域，求函数值域的常用方法有：（1）配方法：利用二次函数的配方法求值域，要注意自变量的取值范围.（2）判别式法：利用二次函数的判别式法求函数的值域，要注意定义域的范围.（3）图象法.另外还有单调性法、反表示法、不等式法等等，今后的学习，我们将不断完善值域的求法。.知识点3函数的表示方法1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形是函数的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、如果在函数中，是用

5、代数式来表达的，这种方法叫做解析法。学习结论1、函数的定义域：函数的定义域是函数三要素之关键，函数定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围。2、数的值域：函数的值域就是函数值的集合｛f（x）

6、x∈A｝，也是一个非空数集.。3、函数的表示方法：（1）列表法（2）图像法（3）解析法。典型例题例题1下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.y=x-1和y=B.y=x0和y=1C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2D.f(x)=和g(x)=答案：D解析：A中两函数定义域不同；B中y=x0=1(x≠0)与y=1的定义

7、域不同；C中两函数的对应关系不同；D中f(x)==1(x>0),g(x)==1(x>0).∴D正确.。例题2设f(x)=(x≠0),则f()等于（）A.f(x)B.C.f(-x)D.答案：A解析：f()====f(x).。例题3求函数y=-x2+4x+2(x∈［-1,1］)的值域.答案：值域为［-3，5］解析：y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,∵x∈［-1,1］,∴x-2∈［-3,-1］,∴1≤(x-2)2≤9,∴-3≤-(x-2)2+6≤5,即-3≤y≤5,∴函数y=-x2+4x+2(x∈［-1,1］)的值

8、域为［-3，5］.。例题4α、β是实系数x的方程x2+2(m-1)x+m2-4=0的两个实根，记y=α2+β2,求y=f(m)的解析式、定义域、值域.答案：，定义域为，值域为解析：y=α2+β2=(α+β)2-2αβ=4(m-1)2-2(m2-4)=4m2-8m+4-2m2+8=2m2-8m+12.所以∵由于x2+2(m-1)x+m2-4=0有两实根，∴4(m-1)2-4(m2-4)≥0,即m≤.∴y=α2+β2=2m2-8m+12的定义域为，.函数y=2m2-8m+12(m∈(-∞,))∴函数的最小值为ymin=2

9、×22-8×2+12=4,故其值域为。