高中数学 第一章　集合与函数概念 1.2　函数及其表示同步精品学案 新人教a版必修1

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1、1．2.1　函数的概念1．函数的定义(1)传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y的值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量．B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

2、x∈A}叫做函数的值域．→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y

3、的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

4、x∈A}叫做函数的值域．(3)对函数概念的理解需注意以下几点：①A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．②在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数y＝x2＋1可称为实数集到实数集的函数．③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了．④函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则(或运算)，如f(x)＝x2－2x＋

5、3.当x＝2时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x为某一个代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或函数记号)代替，如f(2x－1)＝(2x－1)2－2(2x－1)＋3，f[g(x)]＝[g(x)]2－2g(x)＋3等，f(a.)与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量．⑤对应关系：A中的任一个元素，B中都有唯一的元素与之对应；而B中的元素在A中的对应元素可以不唯一，也可以没有．2．两个函数相等只有当两个函数的定义域

6、和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．例如，函数y＝x＋1与y＝x－1，其中定义域都是R，值域都是R.但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数．3．区间的概念函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区间的概念：设a，b是两个实数，而且a

7、数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]．②满足不等式aa，x≤a，x

8、　　题型一　两个函数相等的判断判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由．①f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1②f(x)＝x，g(x)＝③f(x)＝x2，f(x)＝(x＋1)2④f(x)＝

9、x

10、，g(x)＝解　①f(x)＝(x－1)0的定义域为{x

11、x≠1}，g(x)＝1的定义域为实数集R，它们定义域不同，所以它们不表示同一函数；②f(x)＝x的值域是R，g(x)＝的值域是[0，＋∞)，它们的值域不同，所以它们不表示同一函数；③f(x)＝x2与f(x)＝(x＋1)2的对应关系不同，所以它们不

12、表示同一函数；④f(x)＝

13、x

14、与g(x)＝的定义域都为实数集R，值域都为[0，＋∞)，对应关系相同，所以它们是同一函数．点评　判断两个函数是否相同时，只要看定义域和对应关系是否完全一致，只有完全一致，这两个函数才是相等函数，对于解析式较为复杂的函数需先化简比较对应关系是否相同，但化简过程必须是等价的．　　　　　题型二　函数的求值已知函数f(x)＝x2＋x－1，求：(1)f(2)；(2)f；(3)若f(x)＝5，求x的值．解　(1)f(2)＝4＋2－1＝5.(2)f＝2＋－1＝＋＋1.(3)f(x)＝5，即x2

15、＋x－1＝5.由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.点评　求函数值主要用代入法，每当代入时要注意式子的化简和符号的变化，求f(g(x))可以看作是求以g(x)为f(x)的自变量的函数值．　　　　　题型三　函数的定义域求下列函数的定义域：(1)f(x)＝＋；(2)y＝＋；(3)f(x)＝；(4)若函数f(x)的定义域为[2,3]，求f(x＋2)的定义域；(5)若函数f(x＋3)的定义域