高中数学 函数的应用学案（教师版） 新人教a版必修1

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1、§3.2　函数模型及其应用1．几类不同增长的函数模型及其增长差异分别作出函数y=2x，y=log2x，y=x2在第一象限的图象如图．函数y=log2x刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快．函数y=2x和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)．在x∈(2,4)时，log2x<2x4时，log2x

2、x.一般地，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使当x>x0时，就有logax

3、．y＝2x　　D．y＝ex解析　指数函数模型增长速度最快，并且e>2，因而y＝ex增长速度最快．答案　D2．几类常见的函数模型(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)；(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(5)对数函数模型：f

4、(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a>0，a≠1)；说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；(7)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．3．通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：(1)收集数据；(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；(4)选择其中的几组数据

5、求出函数模型；(5)将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤(3)(4)(5)；若符合实际，则进入下一步；(6)用求得的函数模型去解决实际问题．　　　　题型一　一次函数模型的应用一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大

6、？并计算每月最多能获得的利润．解　本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析．设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸.数量(份)价格(元)金额(元)买进30x0.206x卖出20x＋10×2500.306x＋750退回10(x－250)0.080.8x－200设每天从报社买进x份报纸时，每月所获利润为y元，则y＝[(6x＋750)＋(0.8x－200)]－6x＝0.8x＋550(250≤x≤400，x∈N)．∵y＝0.8x＋550在[250,400]上是增函数，∴当x＝400时，y取得最

7、大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元．点评　一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．　　　　题型二　二次函数模型的应用渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的

8、最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大时，求k的取值范围．解　(1)根据题意知空闲率是，得y＝kx·(00，∴0