高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质目标导学 新人教a版选修1-1

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1、2.3.2　抛物线的简单几何性质问题导学一、求抛物线的标准方程及其几何性质活动与探究1过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，称为抛物线的通径．求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．迁移与应用1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且抛物线上的横坐标为－5的点到焦点的距离是6，则此抛物线的方程为(　　)A．y2＝－2xB．y2＝－4xC．y2＝2xD．y2＝－4x或y2＝－36x2．已知抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程．(1)抛物线y2＝2p

2、x(p＞0)的通径长为2p，这是标准方程中系数2p的一种几何意义．利用通径画抛物线很方便且准确．(2)对于抛物线标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用，要做到准确、熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等．二、抛物线几何性质的应用活动与探究2已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若

3、OA

4、＝

5、OB

6、，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．迁移与应用已知抛物线y2＝2px(x＞0)与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，且

7、AB

8、＝2，则p＝(　　)A．3B．C．D．(1)抛

9、物线的几何性质包括抛物线的焦点、准线、范围、对称轴、顶点、离心率、开口方向等，它的应用比较广泛，这一部分的题型仍以直线与抛物线的关系为载体，涉及求直线方程、弦长、平行、对称、最值等．解题时，结合题意大胆设出参数和抛物线上点的坐标，利用条件化简整理，从而得以求解．(2)抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题过程中又容易忽视这些隐含条件，如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等．解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件．三、直线与抛物线的综合应用活动与探究3(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点

10、且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2(2)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A．①求实数b的值；②求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．迁移与应用1．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若

11、AB

12、＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)A．B．2C．D．42．已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．(1)直

13、线与抛物线的相交弦问题可归结为两类，一类是过焦点的弦，另一类是不过焦点的弦，即一般的弦长问题．求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径，利用焦半径公式和根与系数的关系求解，一般弦长问题可直接根据弦长公式求解．(2)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，还要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．(3)对于抛物线的焦点弦，应熟悉一些常见的结论，并可直接应用于选择题和填空题的解答，如，设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)(点A，B为直线与抛物线的交点)，则有：

14、①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③

15、AB

16、＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．答案：课前·预习导学【预习导引】1．F　F　F　F　x＝－　x＝　y＝－　y＝　x≥0，y∈R　x≤0，y∈R　y≥0，x∈R　y≤0，x∈R　x轴　y轴　(0,0)预习交流1　(1)提示：“五个一”是指：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1．(2)提示：B预习交流2　(1)提示：当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线只有一个公共点，所以直线与抛物线有一个公共点时，可能直线与抛物线相切，也可能直线平行于抛物线的对称轴

17、，故应是必要不充分条件．(2)提示：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①可直接利用弦长公式

18、AB

19、＝

20、x1－x2

21、；②可利用定义转化为到准线的距离和．如抛物线方程为y2＝2px(p＞0)时，

22、AB

23、＝x1＋x2＋p．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1　思路分析：通径长为8，即2p＝8，对称轴为x轴，即焦点在x轴上，由此可得抛物线的标准方程，但注意抛物线的开口方向不确定，需分两种情况考虑．解：(1)当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y2＝2px(p＞0)，当x＝时，y＝±p，由2p＝8，得p＝4．故抛物线的标准方程为

24、y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2．(2)当焦点在x轴的负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，同理可得抛物线的方程为y2＝－8x，焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2．迁移与应用　1．B　解析：由题意，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，∴＋5＝6，∴p＝2．∴抛