高中数学 2.2.3两条直线的位置关系学案二 新人教b版必修2

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1、两条直线的位置关系●考试目标主词填空1.两直线平行的充要条件.已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2且b1≠b2.2.两直线垂直的充要条件.已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2k1·k2=-1.3.两条直线的夹角.设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tan，tan.4.点到直线的距离.点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.5.两平行线间的距离.两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离d

2、=6.对称问题.(1)P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y).(2)P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是.●题型示例点津归纳【例1】已知两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.【解前点津】对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”.【规范解答】当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0l1∥l2，当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-x-，l2：y=，①当-≠即m≠-1，m≠3时，l1与l2相交.②当，即m=-1时l1∥l

3、2.③当，即m=3时，l1与l2重合.综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当m=3时，l1与l2重合.【解后归纳】判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论.【例2】求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为的直线方程.【解前点津】画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，可“避免讨论”.【规范解答】

4、AC

5、==2，∵

6、AB

7、=在Rt△ABC中，求出

8、BC

9、=1，则tan∠ABC=2.设所求直线斜率为k，则=2解之：k=或.∴x

10、-2y+4=0，11x-2y-16=0为所求.【解后归纳】本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路.【例3】一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).(1)求光线的入射线方程；(2)求这条光线从P到Q的长度.【解前点津】先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标，从而可确定过Q，Q′的直线方程.【规范解答】(1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点，且QQ′交l于M点，∵k1=-1，∴kQQ′=1，∴QQ′所在直线方程为x-y=0.由得M坐标为，又∵M为QQ′中点，故由Q′(-2，-2).设入射线与l交点为N，且P

11、，N，Q′共线，得入射线方程为：，即5x-4y+2=0.(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而：

12、NQ

13、=

14、NQ′

15、，∴

16、PN

17、+

18、NQ

19、=

20、PN

21、+

22、NQ′

23、=

24、PQ′

25、=，即这条光线从P到Q的长度是.【解后归纳】无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法.【例4】已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)求l3到l1的角θ；(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点

26、l2的距离的；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是∶；若能，求P点坐标；若不能，说明理由.【解前点津】求解本题用到三个公式：平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式.【规范解答】(1)由l2：2x-y-=0，∴l1与l2的距离d=，化简得：，∵a>0，∴a=3.(2)由(1)，l1：2x-y+3=0k1=2，而k3=-1，∴tanθ==-3，∵0≤θ≤π，∴θ=π-arctan3.(3)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线L：2x-y+c=0上，且，即c=或c=.∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.若P点满足条件

27、③，由点到直线的距离公式，有：，即：

28、2x0-y0+3

29、=

30、x0+y0-1

31、，∴x0-2y0+4=0，或3x0+2=0，由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能，由方程组：，舍去，由∴P即为同时满足三个条件的点.【解后归纳】(3)属于“存在性问题”的解答，往往从“假设存在入手”，推出某种结论(肯定的或否定的)，然后检验这种结论是否满足题设中的各条件.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.如果直线ax+2y