高中数学 1.3.3等比数列的前n项和2学案 北师大版必修5

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1、第3课时　等比数列的前n项和思路方法技巧命题方向　等比数列前n项和公式的应用［例1］　设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.［分析］　应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.［解析］　当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当q≠1时，=3a1q2,因为a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,解得q=-.综上所述，公比q的值是1或－.［说明］　（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前n项和问题

2、，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.变式应用1　在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.［解析］　∵S6=,S3=,∴S6≠2S3，∴q≠1.=　　　　　　①∴=　　　　　②②÷①得　1+q3=9,∴q=2.将q=2代入①，得a1=,∴an=a1qn-1=2n-2.命题方向　等比数列前n项的性质［例2］　在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.［分析］　利用等比数列前n项的性质求解.［解析］　∵

3、{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)∴S3n=+S2n=+60=63.［说明］　等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用2　等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.［解析］　解法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,∴S4=28.解法二：∵S2=7,S6=91,∴

4、q≠1.=7①∴=91②得q4+q2-12=0,∴q2=3,∴q=±.当q=时，a1=,∴S4==28.当q=-时，a1=-,∴S4==28.探索延拓创新命题方向　等比数列前n项和在实际问题中的应用［例3］　某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值

5、应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)［解析］　(1)第一年年底本利和为a+a·25%=1.25a,第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.(3)依题意，有395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,∴x==.　　　　　　　　①设1.2520=t,∴l

6、gt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.∴t=100,代入①解得x=96.变式应用3　某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？［解析］　第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x=20000×1.12-1.1x-x,…第10次还款x元后，还欠银行20000×1.1

7、10－1.19x-1.18x-…-x,依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,解得x=≈3255(元).名师辨误做答［例4］　求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.［误解］　所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a=.［辨析］　所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.［正解］　由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前