高中数学 1.1.1 正弦定理3学案 新人教a版必修5

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1、第一章　解三角形§1.1　正弦定理和余弦定理1.1.1　正弦定理(一)自主学习1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．2．在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝90°，0°

2、形外接圆的直径2R.已知△ABC的三个内角A、B、C及对应的三边a、b、c，试用向量法证明正弦定理．证明　(1)若△ABC为直角三角形，不妨设C为直角．如图所示，根据正弦函数的定义，＝sinA，＝sinB，所以＝＝c＝2R(2R为外接圆直径)．∵C＝90°，∴sinC＝1，＝c＝2R.∴＝＝＝2R.（2）若△ABC为锐角三角形，过A点作单位向量i⊥，则有：i·＝i·(－)＝i·－i·，∵i⊥∴i·＝0，∴i·＝i·，即ccos(90°－A)＝acos(90°－C)，∴csinA＝asinC，∴＝.同理可证：＝；＝.∴＝

3、＝.(3)若△ABC为钝角三角形，可仿(2)证明．综上，＝＝.对点讲练已知两角和一边解三角形例1　在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．分析　要注意在△ABC中隐含条件A＋B＋C＝180°的运用．解　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理＝＝，得b＝a·＝5·＝5；c＝a·＝5·＝5·＝5·＝(＋)．总结　已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量．变式训练1　在△ABC

4、中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．解　∵＝＝，∴b＝＝＝＝4.∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝＝＝＝2＋2.已知两边及其中一边的对角解三角形例2　在△ABC中，a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．分析　已知三角形的两边及其中一边的对角，先判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．解　a＝2，b＝6，absinA，所以本题有两解，由正弦定理得：sinB＝＝＝，故B＝60°或120°.当B＝60°时

5、，C＝90°，c＝＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.总结　已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．变式训练2　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c等于(　　)A．1B．2C.－1D.答案　B解析　由正弦定理＝，可得＝，∴sinB＝，故∠B＝30°或150°.由a>b，得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，

6、由勾股定理得c＝2.已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3　不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.解　(1)sinB＝sin120°＝×<，所以三角形有一解．(2)sinB＝sin60°＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sinB＝的角有60°sinC＝，所以B>45°，所以B＋

7、C>180°，故三角形无解．总结　已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断．变式训练3　不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝7，b＝14，A＝30°；(2)a＝30，b＝25，A＝150°；(3)a＝7，b＝9，A＝45°.解　(1)A＝30°，a＝bsinA，故三角形有一解．(2)A＝150°>90°，a＝30>b＝25，故三角形有一解．(3)A＝45°，bsin45°

8、两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.A为锐角a