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1、第5讲空间向量及运用（教师版）一．学习目标：1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.二．重点难点：1.重点：（1）如何求直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，（2）会用向量法求各种空间角及空间距离． 2.难点：正确掌握空间角的类型及各自的范围，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系． 三．知
2、识梳理：（一）空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.空间向量基本定理[来源:学.科.网](1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc．(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数
3、x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.（二）、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝
4、a
5、
6、b
7、cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)
8、a
9、2＝a2，
10、a
11、＝.2．向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝（三）、平
12、面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．（四）用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量
13、分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.（五）用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.（六）利用向量求空间角与距离：1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝
14、cosθ
15、＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为
16、n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝
17、cosθ
18、＝.3．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．4．点面距的求法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.四．典例剖析：题型一向量法证明平行与垂直例1（2012年福建理高考题）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E
19、为CD中点。（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则,故(2)假设在棱上存在一点,使得平面,则设平面的法向量为,则有,取,可得,要使平面,只要,又平面,存在点使平面,此时.课堂练习1：（2012年高考（江苏））如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点不同于点),且为的中点.求证:(1)平面平面;(2)直线平面.证明:(1)∵是直三棱柱,∴平面.又∵平面,∴.又∵平面,∴平面.又∵平面,∴平面平面.(2)∵,为的中点,∴.又∵平面
20、,且平面,∴.又∵平面,,∴平面.由(1)知,平面,
