费马猜想初等数学特例性证明.doc

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1、费马猜想初等数学特例性证明（2013年4-7月）王德忱著（黑龙江省农业科学院黑河分院）前言笔者多年研究费马猜想，在已发布的几篇证明基础之上再修此作，为论述更确切精炼，步骤更直接简要，最终解决n等于4和任一奇质数的特例证明。现稿正文篇幅不过5页、字数少于3千。证明关键依据一个为人们早就普遍所熟知而基本的“方根存在唯一性定理”，也就是方根性质定理。费马猜想，是世界最著名的数论难题之一，也称费马大定理：一个高于二次的幂分为两个同次的幂是不可能的，即当n＞2是一个正整数时不定方程zn=xn+yn为正整数等式不成立，也就是没有zxy≠0

2、的正整数解。由于长时期无人能够证明得了，研究者们只好就一些特例进行尝试，如n=4和n=3、5、7、…等等。又得出一个结论：如果zn=xn+yn没有正整数解，则zkn=xkn+ykn（k为正整数）也没有正整数解，而任一个大于2的正整数n如不被4整除必被某一个奇质数整除。因此只要证明了n=4以及n是任一奇质数时费马大定理成立就可以了。n=4早就被用“无穷递降法”证明了，n是任一奇质数的情形虽然已经证明到了很大的数但一直未能最后解决。如果能找到n=3的一般性证明方法，进而扩展到任一奇质数费马猜想初等数学证明问题也就完结了。在这里，用

3、一种新的方法“二次幂等式法”证明n=4；以一般性方法证明n=3，进而扩展到任一奇质数。如果不定方程zn=xn+yn有正整数解，那么方程（kz)n=(kx)n＋(ky)n（k为正整数）也有正整数解，各倍数组解中必有一组为最小的；于是，假设zn=xn+yn有正整数解且z、x、y为各倍数组解中最小的一组，即正整数(x，y)=1使zn=xn+yn…………………………………………………………（1）正整数等式成立。1、n=4时不定方程z4=x4+y4…………………………………………………………（4.1）没有正整数解，则(z2)2=(x2)

4、2+(y2)2没有正整数解。设正整数a＞b，（a，b）=1，由勾股弦数数公式令x2=2ab有：y2=a2–b2…………………………………………………………（4.2）z2=a2+b2…………………………………………………………（4.3）易证b是偶数a是奇数，因为z2=x2＋y2中z为奇数x、y一为奇数一为偶数。如果（4.1）式有正整数解那么（4.2）式、（4.3）式必同时有正整数解成立。又设正整数c、d，（c，d）=1，c＞d，令b=2cd，由勾股弦数公式得：（4.2）式：a=c2+d2（4.3）式：a=c2–d2可见两个等式矛

5、盾。因而为满足（4.2）式、（4.3）式同有正整数解的“b”需要进行不同组的因数分解：b=2c1d1=2c2d2，（c1，d1）=1，（c2，d2）=1，推出：（4.2：）式a=c12+d12（4.3：）式a=c22–d22c22=c12+d12+d22…………………………………………………（4.4）已知（4.4）式的基本正整数解（参见《奥妙的二次幂等式通解》）为：(2t12+t22)2=(2t1t2)2+(2t12)2+(t22)2……………………………（4.5）（4.5）式中(t1，t2)=1，因为a是奇数，c22、d22

6、必一为奇数一为偶数，由数之间奇偶关系决定（4.4）式c2是奇数、d2为偶数。当d2=2t1t2时由c1d1=c2d2有：（2t12）（t22）=（2t12+t22）（2t1t2）t1t2≠2t12+t22或d2=2t12时同理有：（2t1t2）(t22)=（2t12+t22）（2t12）t23≠（2t12+t22）t1满足（4.4）式的基本正整数解不能使（4.2）式、（4.3）式同时成立，所以（4.1）式没有正整数解。那么（1）式n=4时正整数等式不成立，即没有zxy≠0的正整数解。2、当n=3时不定方程z3=x3+y3………

7、…………………………………………………（3.1）2.1.确定“z”的正整数解将（3.1）式变形()3-()3=1分解因式得(-)[()2++()2]=1……………………………………（3.2）因为正整数z>x，所以（3.2）式分解的两个因式均为正数，只存在两种可能：一是两个因式均为正1约数，二则两个因式必是互为正倒数约数。仅由因式-=1及n=3推出(x+y)3>x3+y3=z3，两个因式均不能为正1约数，同时也明确了->1取值不成立，所以设正整数a>b≥1且（a，b）=1，依据约数分析法，将（3.2）式转化为两个互为倒数分数方程

8、组：–=………………………………………………………（3.3）()2++()2=……………………………………………（3.4）因为（3）式两边分母y→a对应，由分数性质必有y含a因子，设y=ay1，使z=x＋by1代入（3.1）式化简得：3x2+3by1x+b2y12=a3………