“猜想”的费马猜想初等数学证明(简稿)

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1、“猜想”的费马猜想初等数学证明（简稿）求证：当正整数n＞2时不定方程zn=xn+yn没有正整数解。证明：因为不定方程zn=yn+xn有正整数解则(kz)n=(kx)n+(ky)n（k为正整数）也有正整数解，各倍数解组中必有一组为最小的正整数，所以假设(x，y)=1使zn=yn+xn………………………………………………………（1）正整数等式成立。依据约数分析法将（1）式变形为zn–xn=yn左边进行因式分解：(z–x)(zn-1+xzn-2+…+xn-2z+xn-1)=yn……………………（2）由（2）式，因为z＞x等式左边为两个正整

2、数之积，所以等式右边yn亦分解为两个正约数之积，设正整数yn=CD得两个“约数式”和“余约数式”：z–x=C…………………………………………………………（3）zn-1+xzn-2+…+xn-2z+xn-1=D………………………………（4）判断（3）式、（4）式确定成立的正整数等式是否成立便可证明费马猜想。分析（3）式、（4）式，对于正整数z、x所决定yn的C、D两个约数，存在互质或不互质两种情形：即（C，D）=1或（C，D）＞1。当（C，D）=1时，根据引理确定正整数C=cn、D=dn，y=cd，由（3）式（4）式得：z–（x+cn

3、）=0……………………………………………………（5）zn-1+xzn-2+…+xn-2z+（xn-1–dn）=0………………………（6）并同时用计算的方法：同理以xn为约数设xn=(st)n可得z–（y+sn）=0，x+cn=y+sn，x–y=sn–cn，“x–y”是确定的整数，由此计算得到cn、sn从而确定yn分解cn及dn是满足（2）式约数分解使（5）式、（6）式为确定的正整数等式。当（C，D）＞1时，由（4）式：D=zn-1+xzn-2+x2zn-3+x3zn-4+x4zn-5+x5zn-6+…+xn-2z+xn-1=zn-2

4、（z–x）+2xzn-3（z–x）+3x2zn-4（z–x）+…+（n-1）xn-2（z–x）+nxn-1=(z–x)[zn-3（z–x）+3xzn-4（z–x）+6x2zn-5（z–x）+…]+nxn-14=(z–x)[(z–x)(zn-3+3xzn-4+6x2zn-5+…)+…]+nxn-1第一次分解z–x因式时系数成数列：1，2，3，…，（n–1），n；第二次分解z–x因式时系数成数列：1，3，6，…，至n–1项，这就需要求第二次分解z–x的第n–1项通解公式。细观察发现第二次分解z–x的某项系数是第一次分解该项系数的数与前几

5、项系数之和，所以n–1项系数通解公式为[(n–1)+1](n–1)=（n–1）n，于是得到（4）式“可约公因数式”：=(z–x)[zn-3+3xzn-4+6x2zn-5+…+（n–2)(n–1）xn-3]+(n–1)nxn-2+因为（x，y）=1，则（x，z）=1，（x，z–x）=1；由“可约公因数式”中项可知z–x即C与nxn-1含公约数只能是n的因数（n或n的某些因数）使相约。由CD=yn，C、D含n的两个因数乘积必是一个n次方数；所以设D含n的因数为NiPi，C含n的因数为Nin-pi，令正整数（c，d）=1、D=dnNipi

6、、C=cnNin-pi，则y=cdNi，又使（3）式、（4）式得：z–（x+cnNin-pi）=0………………………………………………（7）zn-1+xzn-2+…+xn-2z+（xn-1–dnNiPi）=0………………………（8）用确定（5）式、（6）式正整数解的计算方法，使yn分解cnNin-pi及dnNiPi是满足（2）式约数分解使（7）式、（8）式是确定的正整数等式。同理，如果以xn为分解对象亦是这样相同的结果，因为在形式上yn、xn是可以等价互换的。如果yn与xn不等价互换即各自是定数分别为分解对象，则同样得到相应的（5）

7、式、（6）式或（7）式、（8）式为正整数等式结果。所以y=cd或y=cdNi两个必要正整数的不同取值，使（5）式、（6）式和（7）式、（8）式是（2）式分解为有确定正整数解成立的等式，含括了全部有正整数解的情形，也是（1）式有正整数解的确定性条件。由（5）式z=x+cn及y=cd使（1）式为方根n次方式：zn=xn+(cd)n=(x+cn)n4这时x、c为正整数便确定了d的唯一正整数方根d=n则有z=(±)(x+cn)≡n（n：奇数+；偶数±）等式F（z：x，c）≡Q（z：x、c，d）的方根使（1）式成立，存在z=x+cn唯一正整数

8、方根。所以（5）式是（2）式的“方根约数式”，则（6）式为“方根余约数式”。同理，（7）式是（2）式分解约数另一解值的“方根约数式”，相应（8）式是（2）式约去这一解值方根约数的“方根余约数式”。这就证明了关于“z”的正整数解（5）式