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1、第四讲线性方程组一、线性方程组1.基本概念线性方程组由线性函数方程构成的方程组，其一般形式为（4.1）非齐次线性方程组不全为零齐次线性方程组全为零线性方程组的解（解向量）线性方程组的初等变换1）互换两个方程的位置；2）用一个不为零的数乘某个方程；3）将某个方程的倍数加到另一个方程.P53系数矩阵增广矩阵2.线性方程组的几种表示方法(1)代数形式（4.1）(2)矩阵形式(3)向量形式3.基本结论定理1（P68）线性方程组经初等变换得到的是同解方程组.一般地，有（*）据此，若，则方程组有解，否则方程组无解.定理2（P69定理4.1）线
2、性方程组有解.*显然，定理表明：若，则无解.定理3（P69定理4.2）若元线性方程组有解,则当系数矩阵的秩时有唯一解,当时有无穷多个解.当时，（*）式为得同解方程组，所以.当时，（*）式为得同解方程组，所以，称为自由变量，称为固定变量.二、齐次线性方程组齐次线性方程组总有解*齐次线性方程组总有零解定理1（P70定理4.3）齐次线性方程组有非零解的充要条件是.（定理4.3实质上是定理4.2的推论）记――解集合.解的性质：1)如果，那么；2)如果为任意常数，那么.推论齐次线性方程组的一些解的线性组合仍然是它的解.P70推论是线性空间.
3、齐次线性方程组的基础解系解空间中的极大线性无关组定理2（P71定理4.5）对于元齐次线性方程组,若,则它有基础解系,且其中含有个解向量.这是因为当时，有同解方程组，而令分别等于维标准单位向量，并解出，则由此得到的个解即为的一个基础解系.齐次线性方程组的通解为,是任意常数其中是的一个基础解系.例1（P72例4.3）例2（P72例4.5）三、非齐次线性方程组导出组称为的导出组记――解集合(非线性空间)解的性质：1)如果，那么；2)如果，那么；3)如果，那么的任一解都可以表示为,其中.非齐次线性方程组的通解（定理4.7）为,是任意常数其
4、中是的一个解(称为特解)，是的一个基础解系.例1（P75例4.6）例2（P75例4.7）四、习题解答1.P783.提示:2.P784.5.P792.提示：方法一运用Cramer法则令系数行列式=0.方法二同P76例4.73.P786.提示：初等变换法4.P787.提示：是解，且，所以也是基础解系.5.P799.提示：是解是基础解系，通解为是任意实数.6.P7910.提示：的各列都是解7.P793.提示：(1)时，;(2)时，，；时，，.8.P794.提示：是齐次方程组的一个基础解系附：9.P795.提示:的各列都是解10.P796
5、.提示:构造矩阵,使得的列向量组里含有的基础解系,那么,且是矩阵11.P797.提示：可视为特解，是导出组的解.另，所以通解为是任意实数12.P808.提示：故的通解为.12.P8010.提示：五、知识展开1.设是矩阵，是矩阵，则线性方程组(A)当时仅有零解；(B)当必有非零解；(C)当时仅有零解；(D)当时必有非零解.（2002数三）提示：是矩阵2.设是矩阵，是的导出组，则下列结论正确的是(A)若仅有零解，则有唯一解；(B)若有非零解，则有无穷多个解；(C)若有无穷多个解，则仅有零解；(D)若有无穷多个解，则有非零解.提示：由(
6、A)、(B)推不出；由(C)、(D)可推出，故选(D).3.非齐次线性方程组中未知量个数为，方程个数为，系数矩阵的秩为，则(A)当时,则有解；(B)当时,则有唯一解；(C)当时,则有唯一解；(D)当时,则有无穷多个解.（1997数四）提示：由(B)、(C)、(D)推不出，而由(A)可推出，故选(A).4.设阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次方程组的互不相等的解，则对应的齐次方程组的基础解系（A）不存在；（B）仅含一个非零解向量；（C）含有两个线性无关的解向量；（D）含有三个线性无关的解向量.提示：，是非齐次方程组的互不相等的解从而仅含一
7、个非零解向量，故选（D）.5.设是实正交矩阵,且,则线性方程组的解是.提示：设则由另因，得.所以是解.6.已知齐次线性方程组和同解，求的值.（2005数四）提示：因为同解，且，所以.由此必有.解出的一个基础解系：，代入中得当时，，表明同解.当时，，表明不可能同解.7.已知四元齐次线性方程组和另一个四元齐次线性方程组的一个基础解系，(1)求方程组的一个基础解系；(2)当为何值时，方程组有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.（2002数四）提示：(1)的一个基础解系为(2)设方程组有非零公共解，于是将的通解代入中，得当时
8、，，则无非零公共解；当时，任意，故此时有非零公共解，且全部非零公共解为，为不全为零的任意实数8.已知三阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵（为常数），且，求线性方程组的通解.（2005数一）提示：不全为零.又,所以.(1)若,这时是方程组的一个基础解系，
