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《第12章 线性方程组 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、精品课程《高等数学》(线性代数部分)电子教案第十二章线性方程组【授课对象】理工类专业学生【授课时数】12学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、利用高斯消元法求解线性方程组;2、不解线性方程组,判断线性方程组的相容性以及相容时解的个数;3、了解维相量的概念并熟练掌握维向量组线性相关性的判断;4、了解向量组极大无关组的定义；5、了解向量组秩的概念;6、熟练掌握极大无关组的求解问题.【本章重点】高斯消元法,线性相关性的判断,极大无关组的证明.【本章难点】线性相关性的判断；线性方程组解的情况的判定,极大无关组的证明.【授课内容】本章主要对线性方程组的一般情形进一
2、步进行探讨，即如何判定其是否有解？在有解的情况下，解的结构如何？§1高斯消元法在初等数学中，我们在利用加减消元法求解线性方程住时，主要用到上一章§5节中所讲的三中初等行变换，他们属同解变形；同样，通过矩阵的初等行变换也有如下结论.命题12.1若将增广矩阵[A
3、B]通过初等行变换为[U
4、V],则方程组AX=B与UX=V同解.证设[A┊B]通过一系列初等行变换化为[U┊V],即粗壮乃一系列初等矩阵P，P，…，P使得P…PP[A┊B]=[U┊V]设P=P…PP，因初等矩阵可逆，故P可逆，即P存在。亦即P[A┊B]=[U┊V]PA=U，PB=V(或A=PU，B=PV）设X是A
5、X=B的解,即AX=B为此有PAX=PBUX=V,所以X也是UX=V的解.16精品课程《高等数学》(线性代数部分)电子教案反之设X是UX=V的解,即UX=V为此有PUX=PVAX=B,所以X也是AX=B的解.所以AX=B与UX=V同解.□例1解线性方程组解先将增广矩阵进行如下初等行变换[A
6、B]==[U
7、V]所以得到与之同解的线性方程组即得若取，则可得原方程组的一个解□以上将方程组的增广矩阵[A┊B]通过初等行变换化为[U┊V]，从而得到与AX=B同解的方程组UX=V的解法就称为高斯消元法.根据命题12.1及上面的例1,可归纳出应用高斯消元法解线性方程组(12.1)的
8、一般步骤(i)先将线性方程组(12.1)的增广矩阵16精品课程《高等数学》(线性代数部分)电子教案[A┊B]=[U┊V],(12.3)(ii)若,则方程组(12.1)无解,这时称(12.1)为不相容方程组;若,则方程组(12.1)有解,这时称(12.1)为相容方程组.(iii)若,则根据(12.3)写出方程组(12.1)的一般解(12.4)这里称为自由未知量,共有n-r个;若让x取定一组值,则可通过(12.4)算出相应的值,即可得方程组(12.3)的一个确定解.例2解线性方程组解先将增广矩阵化为形式(12.3)的阶梯阵[A┊B]=16精品课程《高等数学》(线性代数部分
9、)电子教案=[U┊V].显然方程组有解,它的一般解为若取定一组值,则可算出,为此就得到的一个确定解.§2线性方程组的相容性定理在上一节中，我们在求解线性方程组时，是先把其增广矩阵[A
10、B]化为如形式（12。3）的阶梯行矩阵，尔后视是否为零来判定线性方程组是否有解（相容）；另外，由第十一章的命题11.11知，一个矩阵化为阶梯行矩阵后其非零行的行数就是该矩阵的秩。而利用初等行变换求解线性方程组属同解变形，初等行变换也不改变矩阵的秩，为此，可利用矩阵的秩来刻划线性方程组是否有解（相容）这一特性。即下面的命题成立。命题12.2（线性方程组相容性定理)线性方程组(12.1)有解
11、(相容)的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等.那么当线性方程组有解时,如何判定其解是否唯一?因为,在秩A=秩[A
12、B]=r,方程组(12.2)有解的情况下,当r＜n(未知量个数)时,这时会出现自由未知量(共n-r个),方程组有无穷多解;而当r=n时,这时不会出现自由未知量,所以方程组有唯一解,即有下面的命题.命题12.3设A和[A
13、B]分别是线性方程组(12.1)的系数矩阵和增广矩阵,且秩A=秩[A
14、B]=r,则(i)当r＜n时,线性方程组(12.1)有无穷多解;(ii)当r=n时,线性方程组(12.1)有唯一解.例1判定下列方程组是否有解(相容)?若有解,则求
15、出其解.16精品课程《高等数学》(线性代数部分)电子教案(1);(2);(3)解对各方程组的增广矩阵实施初等变换(1)[A┊B]=因为秩[A┊B]=3≠秩A=2,所以线性方程组无解.(2)[A┊B]=因为秩[A┊B]=秩A=2＜3(未知数个数),所以线性方程组有无穷多解.即(3)[A┊B]=因为秩[A┊B]=秩A=3(未知数个数),所以方程组有唯一解.即□例2当为何植时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?解对方程组的增广矩阵实施初等行变换得[A┊B]=(i)当即时,方程组无解.(ii)当为任意数时,方程组有唯一解.其解为16精品课程《高等数学》(线性
