高三数学一轮复习 5.2 椭圆、双曲线、抛物线学案

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1、专题五：解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线（含轨迹问题）【最新考纲透析】1．圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。（4）了解圆锥曲线的简单应用。（5）理解数形结合的思想。2．曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。【核心要点突破】要点考向1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程考情聚焦：1．圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容，虽然大纲降

2、低了对双曲线的要求，但在选择题中仍然考查双曲线。2．可单独考查，也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查。3．既可以以小题的形式考查（属中、低档题），也可以以解答题形式考查（属于中、高档题）。考向链接：1．已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解。2．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法。3．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把b用a、c代换，求的值。4．在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关。例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ19）已知椭圆经过点

3、，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。(1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程；(3)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力．【思路点拨】（1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；（2）根据角平分线的性质求出直线的斜率或直线上的一个点的坐标，进而求得直线的方程；（3）先假设椭圆上存在关于直线对

4、称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两点，根据推理结果做出判断。【规范解答】（1）设椭圆的方程为（），由题意，，又，解得：椭圆的方程为（2）方法1：由（1）问得，，又，易得为直角三角形，其中设的角平分线所在直线与x轴交于点，根据角平线定理可知：，可得，直线的方程为：，即。方法2：由（1）问得，，又，，，，，直线的方程为：，即。（3）假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点、，令、，且的中点为，，又，两式相减得:,即（3），又在直线上，（4）由（3）（4）解得：，所以点与点是同一点，这与假设矛盾，故椭圆上不存在关于直线对称的

5、相异两点。【方法技巧】1、求圆锥曲线的方程，通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；.2、利用向量表示出已知条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算；3、对于存在性问题，其常规解法是先假设命题存在，再根据题设条件进行的推理运算，若能推得符合题意的结论，则存在性成立，否则，存在性不成立。要点考向2：最值或定值问题考情聚焦：1．以圆锥曲线为载体的最值或定值问题在高考题中几乎每年都涉及。2．可与函数、不等式等知识交汇，体现知识间的联系。3．多以解答题形式出现，属中高档题目。考向链接：解析几何中的

6、最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：（1）利用函数，尤其是二次函数求最值；（2）利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用不等式，尤其是均值不等式求最值；（4）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值。例2：（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值.【命题立意】本

7、题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中的关系，离心率.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（Ⅲ）问中最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】由焦点可求出，再利用离心率可求出。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.【规范解答】（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）由题意知由得所以圆P的半径为.由，解得.所以点P的坐标是（0，）.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程.因为点在圆P上。所以由图可知。设，则当，即，且，取最大值2.【方法技巧】（1）

8、直线与圆的位置关系：时相离；时相切；时相交；（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.要点考向3：求参数范围问题考情聚焦：1．与圆锥曲线有关的求参数范围问题在高考题中经常出现。2．多在解答题中出现，属中高档题。例3：（2010·山东高考理科·Ｔ2