2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理

《2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算理1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝＝.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

2、3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(

3、x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[]′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.[]′＝－(f(x)≠0)．3.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向

4、，其大小

5、f′(x)

6、反映了变化的快慢，

7、f′(x)

8、越大，曲线在这点处的切线越“陡”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　×　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　√　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(　×　)1．(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f

9、′(1)等于(　　)A．0B．eC．2eD．e2答案　C解析　f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)答案　D解析　由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.

10、故选D.3．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，它的加速度是(　　)A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2答案　A解析　由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，当t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14.4．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sinx＋cosx，则f′()＝.答案　－解析　因为f(x)＝f′()sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′()cosx－sinx，所以f′

11、()＝f′()cos－sin，即f′()＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx.f′(x)＝－cosx－sinx.故f′()＝－cos－sin＝－.5．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程是．答案　5x＋y＋2＝0解析　因为y′

12、x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.题型一　导数的计算例1　求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝；(4)y＝sin(2x＋)；(5)y＝ln(2x－5)．解　

13、(1)y′＝(x2)′·sinx＋x2·(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝(lnx＋)′＝(lnx)′＋()′＝－.(3)y′＝()′＝＝－.(4)设u＝2x＋，则y＝sinu，则y′＝(sinu)′·u′＝cos(2x＋)·2∴y′＝2cos(2x＋)．(5)令u＝2x－5，则y＝lnu，则y′＝(lnu)′·u′＝·2＝，即y′＝.思维升华　(1)求导之前，应