2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性) 文

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1、考点5函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【考点剖析】一．最新考试说明：1．理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．2．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性．3．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．二．命题方向预测：1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2．函数的奇偶性是高考考查的热点．3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．4．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题．三．课本结论总结：1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调

2、性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．　2．若奇函数定义域中有0，则必有．即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件．对于偶函数而言有：．3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等．4．若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．5．既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．6．复

3、合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．7．函数与函数的图像关于直线（轴）对称．8．函数与函数的图像关于直线（轴）对称．9．函数与函数的图像关于坐标原点中心对称．10．函数与函数的图像关于直线对称．四、名师二级结论：一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．一条规律函数的定义域关于原点对称

4、是函数具有奇偶性的必要条件．注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．两个应用1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性

5、质法．在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f(－x)＝±f(x)f(－x)±f(x)＝0＝±1，f(x)≠0．五、课本经典习题：(1)新课标人教A版必修一第36页练习第1（3）题判断下列函数的奇偶性：．【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式．(2)新课标人教A版必修一第44页复习参考题A组第八题设，求证：（1）；（2）．【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展．(3)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第3题对于函数．（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使为奇函数？【经典理由】典型的函数性质应用题，可

6、以进行改编、变式或拓展．(4)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第4题设，求证：（1）；（2）；（3）．【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展．六．考点交汇展示：(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇例1．【2018届湖北省荆州中学高三上学期第二次】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）A.4B.6C.8D.10【答案】D【解析】求函数的零点个数只需考查方程的实根个数，当时，，在上递减，在上递增，，值域为.当时，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为，在上有个实根，又函数为偶函数，在上有10个实根，函数的零点个数为10个，选D

7、.(2)函数的周期性与函数的零点交汇例2．【2017江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上,其中集合，则方程的解的个数是.【答案】8【解析】由于，则需考虑的情况在此范围内，且时，设，且互质若，则由，可设，且互质因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，(3)函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题例3．【2017河北定州中学】函数是定义